3차원 데카르트 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스(발산) 📂수리물리

3차원 데카르트 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스(발산)

정의

벡터 함수 $\mathbf{F}(x,y,z)=F_{x}\hat{\mathbf{x}}+F_{y}\hat{\mathbf{y}} + F_{z}\hat{\mathbf{z}}$에 대해서 다음과 같은 스칼라 함수를 $\mathbf{F}$의 다이벌전스^{divergence, 발산}라고 정의하고 $\nabla \cdot \mathbf{F}$라고 표기한다.

$$ \begin{equation} \nabla \cdot \mathbf{F} := \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} \label{divergence} \end{equation} $$

설명

기하학적으로 $\nabla \cdot \mathbf{F}>0$이면 $\mathbf{F}$가 퍼져나가는, 밖으로 나가는 모양을 하고 있음을 의미하고, $\nabla \cdot \mathbf{F}<0$이면 $\mathbf{F}$가 모여드는, 안으로 들어오는 모양을 하고 있음을 의미하고, $\nabla \cdot \mathbf{F}=0$이면 $\mathbf{F}$가 퍼지거나 모이지 않는, 나가거나 들어오는 양이 같은 모양을 하고 있음을 의미한다.

divergence는 발산으로 번역된다. 생새우초밥집에서는 기울기를 그래디언트, 회전을 컬로 사용하므로 통일감을 위해 발산 대신 다이벌전스라 표기한다.

정의에서 $\dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial z}$라는 값을 $\nabla \cdot \mathbf{F}$로 표기한다고 한 것에 주의하자. $\nabla$를 델 연산자라 부르기는 하지만, 이것 자체로 어떤 의미를 가진다고 생각하면 $\nabla \cdot \mathbf{F}$나 $\nabla \times \mathbf{F}$를 내적과 외적으로 오해하기 딱 좋다. 따라서 $\nabla$는 그저 편리한 표기법 정도로만 이해해야하며, 그래디언트, 다이벌전스, 컬을 묶어 델 연산자들이라고 부른다고 하거나, 차라리 델 연산자=그래디언트라고 생각하는게 더 나을 수 있다. 자세한 내용은 아래에서 이어진다.

주의할 점

$\nabla \cdot \mathbf{F}$는 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 내적이 아니다

$\nabla \cdot \mathbf{F}$는 절대로 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 내적이 아니다.

내적은 기본적으로 두 벡터끼리의 연산이다. $\nabla \cdot \mathbf{F}$를 내적으로 생각한다는 것은, $\nabla$를 다음과 같은 벡터라고 본다는 것이다.

$$ \nabla \overset{?}{=}\dfrac{ \partial }{ \partial x}\hat{\mathbf{x}} +\dfrac{ \partial }{ \partial y}\hat{\mathbf{y}}+\dfrac{ \partial }{ \partial z}\hat{\mathbf{z}} = \left( \dfrac{ \partial }{ \partial x},\ \dfrac{ \partial }{ \partial y},\ \dfrac{ \partial }{ \partial z} \right) $$

물론 이렇게 생각하면 다음과 같이 다이벌전스의 정의 $(1)$대로 계산이 딱 떨어지므로 편리한 것은 사실이다.

$$ \nabla \cdot \mathbf{F} = \left( \dfrac{ \partial }{ \partial x},\ \dfrac{ \partial }{ \partial y},\ \dfrac{ \partial }{ \partial z} \right) \cdot \left( F_{x}, F_{y}, F_{z} \right) = \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} $$

하지만 이게 실제로 내적이라면, 내적은 교환법칙이 성립하므로 다음과 같은 등식이 성립한다는 이상한 결론이 나온다.

$$ \mathbf{F} \cdot \nabla = F_{x} \dfrac{\partial }{\partial x} + F_{y} \dfrac{\partial }{\partial y} + F_{z} \dfrac{\partial }{\partial z} \overset{?}{=} \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} = \nabla \cdot \mathbf{F} $$

사실 $\nabla \cdot$의 실체는 벡터 함수 $\mathbf{F}(x,y,z)$를 스칼라 함수 $\frac{ \partial F_{x}(x,y,z)}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}(x,y,z)}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}(x,y,z)}{ \partial z}$로 대응시키는 연산자이다. 이게 무슨 말이냐하면, $\operatorname{div}$라는 함수를 다음과 같이 정의해보자.

$$ \operatorname{div}(\mathbf{F}) := \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z},\qquad \mathbf{F} = (F_{x}, F_{y}, F_{z}) $$

여기에는 내적이라느니 뭐니하는 말은 하나도 없다. $\operatorname{div}$라는 함수는 그저 변수 $\mathbf{F}$가 대입될 때 마다 $\dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial z}$를 주는 함수인 것이다. 이렇게 정의하고보니 $\nabla$라는 것을 $\nabla = \dfrac{ \partial }{ \partial x}\hat{\mathbf{x}} +\dfrac{ \partial }{ \partial y}\hat{\mathbf{y}}+\dfrac{ \partial }{ \partial z}\hat{\mathbf{z}}$와 같은 벡터로 생각하면 $\operatorname{div}$의 함숫값을 표기하기가 매우 편리하고 직관적인 것이다. 그래서 $\operatorname{div}(\mathbf{F})$라고 표기하는 대신, $\nabla \cdot \mathbf{F}$라고 표기하는 것이다. 실제로 전공 수학책에서는 다이벌전스를 $\operatorname{div}$로 표기하는 것을 쉽게 찾을 수 있는데, 이는 물리학과는 달리 3차원 벡터를 직관적으로 다루지 않기 때문이라고 볼 수 있다.

그러면 $\nabla \cdot \mathbf{F}$를 교환 법칙이 성립하지 않는 내적으로 생각하면 안되나?

안된다. 왜냐하면 $\nabla \cdot \mathbf{F}$에서 $\nabla \cdot$ 자체가 함수(연산자)이고 $\mathbf{F}$가 변수이다. 반면에 $\mathbf{F} \cdot \nabla$는 이 자체로 함수(연산자)이기 때문이다. 따라서 $\nabla \cdot \mathbf{F}$는 함수 $\nabla \cdot$의 함숫값이고, $\mathbf{F} \cdot \nabla$는 (아직 변수가 대입되지않은) 함수이다. 구체적으로 $\mathbf{F} \cdot \nabla$라는 표기는 다음과 같은 함수 $f$를 직관적으로 쉽게 표기한 것이다. $f$는 벡터 함수 $\mathbf{A}$를 변수로 갖는 연산자이며, $\mathbf{A}$의 각 성분에 $\left( F_{x}\dfrac{\partial }{\partial x} + F_{y}\dfrac{\partial }{\partial y} + F_{z}\dfrac{\partial }{\partial z} \right)$를 취하는 함수이다.

$$ \begin{align*} f (\mathbf{A}) \overset{\text{definition}}{=}& \left( F_{x}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial x} + F_{y}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y} + F_{z}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{x}} \\ &\quad+ \left( F_{x}\dfrac{\partial A_{y}}{\partial x} + F_{y}\dfrac{\partial A_{y}}{\partial y} + F_{z}\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{y}} \\ &\quad+ \left( F_{x}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x} + F_{y}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial y} + F_{z}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{z}} \\ \overset{\text{notation}}{=}& (\mathbf{F}\cdot \nabla) (\mathbf{A}) \end{align*} $$

어떤 스칼라 함수 $\phi$가 변수로 있다면, 다음과 같은 연산자라고 생각한다.

$$ \begin{align*} f (\phi) \overset{\text{definition}}{=}& F_{x}\dfrac{\partial \phi}{\partial x} + F_{y}\dfrac{\partial \phi}{\partial y} + F_{z}\dfrac{\partial \phi}{\partial z} \\ \overset{\text{notation}}{=}& (\mathbf{F}\cdot \nabla) (\phi) \end{align*} $$

따라서 $\nabla \cdot \mathbf{F}$와 $\mathbf{F}\cdot \nabla$는 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 내적으로 이해하면 안되고, $\nabla \cdot$와 $\mathbf{F} \cdot \nabla$ 자체를 하나의 함수처럼 생각해야한다. 이는 물론 발산에만 해당되는 설명이 아니고, 그래디언트 $\nabla f$와 컬 $\nabla \times \mathbf{F}$도 같은 방식으로 이해해야한다.

유도

우선 아래와 같이 3차원 공간에서 미소 부피를 생각해보자.

지금 우리의 목적은 $\mathbf{F}$가 저 미소 부피 속의 각 좌표에서 어떻게 생겼는지를 아는 것이다. 현실에 빗대어 말하자면 $\mathbf{F}$가 열이라면 어떤 방향으로, 어떤 속도로 흐르고 있는지를, $\mathbf{F}$가 물이라면 이게 수도꼭지에서 나오는 물인지, 하수구로 들어가는 물인지를 알고자 하는 것이다. 우선 $x$축 방향에 대해서만 계산해보자. $\mathbf{F}$가 $d\mathbf{a}_{1}$을 통과하는 양은 두 벡터의 내적으로 구할 수 있다.

$$ \begin{align} \mathbf{F}(x+dx) \cdot d\mathbf{a}_{1} &= \left( F_{x}(x+dx)\hat{\mathbf{x}}+F_{y}(x+dx)\hat{\mathbf{y}}+F_{z}(x+dx)\hat{\mathbf{z}} \right) \cdot dydz\hat{\mathbf{x}} \nonumber \\ &= F_{x}(x+dx)dydz \end{align} $$

$F_{x}(x+dx)dydz >0$이면 $\mathbf{F}$가 미소 부피를 빠져나가는 양이고, $F_{x}(x+dx)dydz<0$이면 $\mathbf{F}$가 미소 부피로 들어오는 양이된다. 마찬가지로 $\mathbf{F}$가 $d\mathbf{a}_{2}$를 빠져나가는 양은 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \mathbf{F}(x) \cdot d \mathbf{a}_{2} = F_{x}(x)\hat{\mathbf{x}} \cdot(-dydz\hat{\mathbf{x}})=-F_{x}(x)dydz \end{equation} $$

따라서 $(2) + (3)$은 미소 부피에서 $\mathbf{F}$의 $x$축 방향에 대한 유입량(유출량)이다.

$$ \begin{align*} (2) + (3) &=\left[ F_{x}(x+dx) -F_{x}(x)\right]dydz \\ &= \frac{F_{x}(x+dx) -F_{x}(x) }{dx}dxdydz \end{align*} $$

그런데 $dx$가 미소 길이이므로 $\dfrac{F_{x}(x+dx) -F_{x}(x) }{dx}\approx \dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial x }$와 같이 근사할 수 있다. 따라서 $\mathbf{F}$가 $x$축 방향으로 미소 부피로 들어오거나 나가는 양은 아래와 같이 나타난다.

$$ \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x}dxdydz $$ 마찬가지로 $y$축 방향, $z$축 방향에 대해서 계산하면 아래와 같은 결과를 얻는다.

$$ \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y}dxdydz \quad \text{and} \quad \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z}dxdydz $$

이를 다 더하면 $\mathbf{F}$가 미소 부피로 들어오거나 나가는 양이 되고 $dxdydz$로 나누면 단위부피당 유입량(유출량)이 된다.

$$ \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x}+\frac{ \partial F_{y}}{ \partial y}+\frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} $$

이제부터 이를 $\mathbf{F}$의 다이벌전스라고 부르고 $\nabla \cdot \mathbf{F}$라고 표기하자.

$$ \nabla \cdot \mathbf{F} := \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x}+\frac{ \partial F_{y}}{ \partial y}+\frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} $$

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유도되는 과정을 봐도 알겠지만 위에서 언급했듯이 $\nabla \cdot \mathbf{F}$는 절대 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 내적이 아니다. 이 점을 주의하도록 하자.