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3차원 데카르트 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스(발산) 📂수리물리

3차원 데카르트 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스(발산)

정의

벡터 함수 F(x,y,z)=Fxx^+Fyy^+Fzz^\mathbf{F}(x,y,z)=F_{x}\hat{\mathbf{x}}+F_{y}\hat{\mathbf{y}} + F_{z}\hat{\mathbf{z}}에 대해서 다음과 같은 스칼라 함수를 F\mathbf{F}의 다이벌전스divergence, 발산라고 정의하고 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}라고 표기한다.

∇⋅F:=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z \begin{equation} \nabla \cdot \mathbf{F} := \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} \label{divergence} \end{equation}

설명

기하학적으로 ∇⋅F>0\nabla \cdot \mathbf{F}>0이면 F\mathbf{F}가 퍼져나가는, 밖으로 나가는 모양을 하고 있음을 의미하고, ∇⋅F<0\nabla \cdot \mathbf{F}<0이면 F\mathbf{F}가 모여드는, 안으로 들어오는 모양을 하고 있음을 의미하고, ∇⋅F=0\nabla \cdot \mathbf{F}=0이면 F\mathbf{F}가 퍼지거나 모이지 않는, 나가거나 들어오는 양이 같은 모양을 하고 있음을 의미한다.

divergence는 발산으로 번역된다. 생새우초밥집에서는 기울기를 그래디언트, 회전을 컬로 사용하므로 통일감을 위해 발산 대신 다이벌전스라 표기한다.

정의에서 ∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z\dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial z}라는 값을 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}로 표기한다고 한 것에 주의하자. ∇\nabla를 델 연산자라 부르기는 하지만, 이것 자체로 어떤 의미를 가진다고 생각하면 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}나 ∇×F\nabla \times \mathbf{F}를 내적과 외적으로 오해하기 딱 좋다. 따라서 ∇\nabla는 그저 편리한 표기법 정도로만 이해해야하며, 그래디언트, 다이벌전스, 컬을 묶어 델 연산자들이라고 부른다고 하거나, 차라리 델 연산자=그래디언트라고 생각하는게 더 나을 수 있다. 자세한 내용은 아래에서 이어진다.

주의할 점

∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}는 ∇\nabla와 F\mathbf{F}의 내적이 아니다

∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}는 절대로 ∇\nabla와 F\mathbf{F}의 내적이 아니다.

내적은 기본적으로 두 벡터끼리의 연산이다. ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}를 내적으로 생각한다는 것은, ∇\nabla를 다음과 같은 벡터라고 본다는 것이다.

∇=?∂∂xx^+∂∂yy^+∂∂zz^=(∂∂x, ∂∂y, ∂∂z) \nabla \overset{?}{=}\dfrac{ \partial }{ \partial x}\hat{\mathbf{x}} +\dfrac{ \partial }{ \partial y}\hat{\mathbf{y}}+\dfrac{ \partial }{ \partial z}\hat{\mathbf{z}} = \left( \dfrac{ \partial }{ \partial x},\ \dfrac{ \partial }{ \partial y},\ \dfrac{ \partial }{ \partial z} \right)

물론 이렇게 생각하면 다음과 같이 다이벌전스의 정의 (1)(1)대로 계산이 딱 떨어지므로 편리한 것은 사실이다.

∇⋅F=(∂∂x, ∂∂y, ∂∂z)⋅(Fx,Fy,Fz)=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z \nabla \cdot \mathbf{F} = \left( \dfrac{ \partial }{ \partial x},\ \dfrac{ \partial }{ \partial y},\ \dfrac{ \partial }{ \partial z} \right) \cdot \left( F_{x}, F_{y}, F_{z} \right) = \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z}

하지만 이게 실제로 내적이라면, 내적은 교환법칙이 성립하므로 다음과 같은 등식이 성립한다는 이상한 결론이 나온다.

F⋅∇=Fx∂∂x+Fy∂∂y+Fz∂∂z=?∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z=∇⋅F \mathbf{F} \cdot \nabla = F_{x} \dfrac{\partial }{\partial x} + F_{y} \dfrac{\partial }{\partial y} + F_{z} \dfrac{\partial }{\partial z} \overset{?}{=} \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z} = \nabla \cdot \mathbf{F}

사실 ∇⋅\nabla \cdot의 실체는 벡터 함수 F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z)를 스칼라 함수 ∂Fx(x,y,z)∂x+∂Fy(x,y,z)∂y+∂Fz(x,y,z)∂z\frac{ \partial F_{x}(x,y,z)}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}(x,y,z)}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}(x,y,z)}{ \partial z}로 대응시키는 연산자이다. 이게 무슨 말이냐하면, div⁡\operatorname{div}라는 함수를 다음과 같이 정의해보자.

div⁡(F):=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z,F=(Fx,Fy,Fz) \operatorname{div}(\mathbf{F}) := \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z},\qquad \mathbf{F} = (F_{x}, F_{y}, F_{z})

여기에는 내적이라느니 뭐니하는 말은 하나도 없다. div⁡\operatorname{div}라는 함수는 그저 변수 F\mathbf{F}가 대입될 때 마다 ∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z\dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial x} + \dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial y }+ \dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial z}를 주는 함수인 것이다. 이렇게 정의하고보니 ∇\nabla라는 것을 ∇=∂∂xx^+∂∂yy^+∂∂zz^\nabla = \dfrac{ \partial }{ \partial x}\hat{\mathbf{x}} +\dfrac{ \partial }{ \partial y}\hat{\mathbf{y}}+\dfrac{ \partial }{ \partial z}\hat{\mathbf{z}}와 같은 벡터로 생각하면 div⁡\operatorname{div}의 함숫값을 표기하기가 매우 편리하고 직관적인 것이다. 그래서 div⁡(F)\operatorname{div}(\mathbf{F})라고 표기하는 대신, ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}라고 표기하는 것이다. 실제로 전공 수학책에서는 다이벌전스를 div⁡\operatorname{div}로 표기하는 것을 쉽게 찾을 수 있는데, 이는 물리학과는 달리 3차원 벡터를 직관적으로 다루지 않기 때문이라고 볼 수 있다.

그러면 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}를 교환 법칙이 성립하지 않는 내적으로 생각하면 안되나?

안된다. 왜냐하면 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}에서 ∇⋅\nabla \cdot 자체가 함수(연산자)이고 F\mathbf{F}가 변수이다. 반면에 F⋅∇\mathbf{F} \cdot \nabla는 이 자체로 함수(연산자)이기 때문이다. 따라서 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}는 함수 ∇⋅\nabla \cdot의 함숫값이고, F⋅∇\mathbf{F} \cdot \nabla는 (아직 변수가 대입되지않은) 함수이다. 구체적으로 F⋅∇\mathbf{F} \cdot \nabla라는 표기는 다음과 같은 함수 ff를 직관적으로 쉽게 표기한 것이다. ff는 벡터 함수 A\mathbf{A}를 변수로 갖는 연산자이며, A\mathbf{A}의 각 성분에 (Fx∂∂x+Fy∂∂y+Fz∂∂z)\left( F_{x}\dfrac{\partial }{\partial x} + F_{y}\dfrac{\partial }{\partial y} + F_{z}\dfrac{\partial }{\partial z} \right)를 취하는 함수이다.

f(A)=definition(Fx∂Ax∂x+Fy∂Ax∂y+Fz∂Ax∂z)x^+(Fx∂Ay∂x+Fy∂Ay∂y+Fz∂Ay∂z)y^+(Fx∂Az∂x+Fy∂Az∂y+Fz∂Az∂z)z^=notation(F⋅∇)(A) \begin{align*} f (\mathbf{A}) \overset{\text{definition}}{=}& \left( F_{x}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial x} + F_{y}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y} + F_{z}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{x}} \\ &\quad+ \left( F_{x}\dfrac{\partial A_{y}}{\partial x} + F_{y}\dfrac{\partial A_{y}}{\partial y} + F_{z}\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{y}} \\ &\quad+ \left( F_{x}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x} + F_{y}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial y} + F_{z}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{z}} \\ \overset{\text{notation}}{=}& (\mathbf{F}\cdot \nabla) (\mathbf{A}) \end{align*}

어떤 스칼라 함수 ϕ\phi가 변수로 있다면, 다음과 같은 연산자라고 생각한다.

f(ϕ)=definitionFx∂ϕ∂x+Fy∂ϕ∂y+Fz∂ϕ∂z=notation(F⋅∇)(ϕ) \begin{align*} f (\phi) \overset{\text{definition}}{=}& F_{x}\dfrac{\partial \phi}{\partial x} + F_{y}\dfrac{\partial \phi}{\partial y} + F_{z}\dfrac{\partial \phi}{\partial z} \\ \overset{\text{notation}}{=}& (\mathbf{F}\cdot \nabla) (\phi) \end{align*}

따라서 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}와 F⋅∇\mathbf{F}\cdot \nabla는 ∇\nabla와 F\mathbf{F}의 내적으로 이해하면 안되고, ∇⋅\nabla \cdot와 F⋅∇\mathbf{F} \cdot \nabla 자체를 하나의 함수처럼 생각해야한다. 이는 물론 발산에만 해당되는 설명이 아니고, 그래디언트 ∇f\nabla f와 컬 ∇×F\nabla \times \mathbf{F}도 같은 방식으로 이해해야한다.

유도

우선 아래와 같이 3차원 공간에서 미소 부피를 생각해보자.

11.PNG

지금 우리의 목적은 F\mathbf{F}가 저 미소 부피 속의 각 좌표에서 어떻게 생겼는지를 아는 것이다. 현실에 빗대어 말하자면 F\mathbf{F}가 열이라면 어떤 방향으로, 어떤 속도로 흐르고 있는지를, F\mathbf{F}가 물이라면 이게 수도꼭지에서 나오는 물인지, 하수구로 들어가는 물인지를 알고자 하는 것이다. 우선 xx축 방향에 대해서만 계산해보자. F\mathbf{F}가 da1d\mathbf{a}_{1}을 통과하는 양은 두 벡터의 내적으로 구할 수 있다.

F(x+dx)⋅da1=(Fx(x+dx)x^+Fy(x+dx)y^+Fz(x+dx)z^)⋅dydzx^=Fx(x+dx)dydz \begin{align} \mathbf{F}(x+dx) \cdot d\mathbf{a}_{1} &= \left( F_{x}(x+dx)\hat{\mathbf{x}}+F_{y}(x+dx)\hat{\mathbf{y}}+F_{z}(x+dx)\hat{\mathbf{z}} \right) \cdot dydz\hat{\mathbf{x}} \nonumber \\ &= F_{x}(x+dx)dydz \end{align}

Fx(x+dx)dydz>0F_{x}(x+dx)dydz >0이면 F\mathbf{F}가 미소 부피를 빠져나가는 양이고, Fx(x+dx)dydz<0F_{x}(x+dx)dydz<0이면 F\mathbf{F}가 미소 부피로 들어오는 양이된다. 마찬가지로 F\mathbf{F}가 da2d\mathbf{a}_{2}를 빠져나가는 양은 다음과 같다.

F(x)⋅da2=Fx(x)x^⋅(−dydzx^)=−Fx(x)dydz \begin{equation} \mathbf{F}(x) \cdot d \mathbf{a}_{2} = F_{x}(x)\hat{\mathbf{x}} \cdot(-dydz\hat{\mathbf{x}})=-F_{x}(x)dydz \end{equation}

따라서 (2)+(3)(2) + (3)은 미소 부피에서 F\mathbf{F}의 xx축 방향에 대한 유입량(유출량)이다.

(2)+(3)=[Fx(x+dx)−Fx(x)]dydz=Fx(x+dx)−Fx(x)dxdxdydz \begin{align*} (2) + (3) &=\left[ F_{x}(x+dx) -F_{x}(x)\right]dydz \\ &= \frac{F_{x}(x+dx) -F_{x}(x) }{dx}dxdydz \end{align*}

그런데 dxdx가 미소 길이이므로 Fx(x+dx)−Fx(x)dx≈∂Fx∂x\dfrac{F_{x}(x+dx) -F_{x}(x) }{dx}\approx \dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial x }와 같이 근사할 수 있다. 따라서 F\mathbf{F}가 xx축 방향으로 미소 부피로 들어오거나 나가는 양은 아래와 같이 나타난다.

∂Fx∂xdxdydz \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x}dxdydz 마찬가지로 yy축 방향, zz축 방향에 대해서 계산하면 아래와 같은 결과를 얻는다.

∂Fy∂ydxdydzand∂Fz∂zdxdydz \frac{ \partial F_{y}}{ \partial y}dxdydz \quad \text{and} \quad \frac{ \partial F_{z}}{ \partial z}dxdydz

이를 다 더하면 F\mathbf{F}가 미소 부피로 들어오거나 나가는 양이 되고 dxdydzdxdydz로 나누면 단위부피당 유입량(유출량)이 된다.

∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x}+\frac{ \partial F_{y}}{ \partial y}+\frac{ \partial F_{z}}{ \partial z}

이제부터 이를 F\mathbf{F}의 다이벌전스라고 부르고 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}라고 표기하자.

∇⋅F:=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z \nabla \cdot \mathbf{F} := \frac{ \partial F_{x}}{ \partial x}+\frac{ \partial F_{y}}{ \partial y}+\frac{ \partial F_{z}}{ \partial z}

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유도되는 과정을 봐도 알겠지만 위에서 언급했듯이 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}는 절대 ∇\nabla와 F\mathbf{F}의 내적이 아니다. 이 점을 주의하도록 하자.

관련된 공식

  • 선형성:

  • 곱셈규칙:

    ∇⋅(fA)=f(∇⋅A)+A⋅(∇f) \nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f) ∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B) \nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})

  • 이계도함수:

    ∇⋅(∇T)=∂2T∂x2+∂2T∂y2+∂2T∂z2 \nabla \cdot (\nabla T) = \dfrac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial ^{2} T} {\partial y^{2}} + \dfrac{\partial ^{2} T}{\partial z^{2}} ∇(∇⋅A) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A} ) ∇⋅(∇×A)=0 \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0

  • 가우스 정리 (발산 정리)

    ∫V∇⋅FdV=∮SF⋅dS \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{ F} dV = \oint _\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}

  • 적분 공식

    ∫V[T∇2U+(∇T)⋅(∇U)]dτ=∮S(T∇U)⋅da \int_{\mathcal{V}} \left[ T \nabla^{2} U + (\nabla T) \cdot (\nabla U) \right] d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} ∫V(T∇2U−U∇2T)dτ=∮S(T∇U−U∇T)⋅da \int_{\mathcal{V}} \left( T \nabla^{2} U - U \nabla^{2} T \right) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \left( T \nabla U - U \nabla T \right) \cdot d \mathbf{a}

  • 부분적분

    ∫VA⋅(∇f)dτ=∮SfA⋅da−∫Vf(∇⋅A)dτ \int_{\mathcal{V}}\mathbf{A} \cdot (\nabla f)d\tau = \oint_{\mathcal{S}}f\mathbf{A} \cdot d \mathbf{a}-\int_{\mathcal{V}}f(\nabla \cdot \mathbf{A})d\tau

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