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멀티레졸루션 아날리시스 스케일링 방정식 📂푸리에해석

멀티레졸루션 아날리시스 스케일링 방정식

정리

함수 ϕ∈L2(R)\phi \in L^{2}(\mathbb{R})가 멀티레졸루션 아날리시스를 생성한다고 하자. 그러면 아래의 식을 만족하는 주기가 11인 함수 H0∈L2(0,1)H_{0}\in L^{2}(0,1)가 존재한다.

ϕ^(2γ)=H0(γ)ϕ^(γ),γ∈R \begin{equation} \hat{\phi}(2\gamma) = H_{0}(\gamma)\hat{\phi}(\gamma),\quad \gamma \in \mathbb{R} \label{eq1} \end{equation}

이를 스케일링 방정식scaling- equation이라 한다. 여기서 ϕ^(γ)\hat{\phi}(\gamma)는 ϕ\phi의 푸리에 변환이다.

설명

식 (eq1)\eqref{eq1}은 세분 방정식refinement equation이라고도 불린다. 또한 위의 정리를 만족하는 함수 ϕ\phi를 스케일링 함수scalling function라 부르거나, 혹은 ϕ\phi가 세분가능refinable하다고 한다.

L2(R)L^{2}(\mathbb{R})의 닫힌 부분공간들의 수열 {Vj}j∈Z\left\{V_{j}\right\}_{j \in \mathbb{Z}}와 함수 ϕ∈V0\phi \in V_{0}가 아래의 조건을 만족하면 ({Vj},ϕ)\left( \left\{ V_{j} \right\}, \phi \right)를 멀티레졸루션 아날리시스multiresolution analysis 라 한다.

(a) 각 VjV_{j}에 대해서 ⋯V−1⊂V0⊂V1⋯\cdots V_{-1} \subset V_{0} \subset V_{1}\cdots가 성립한다.

(b) ∪j∈ZVj‾=L2(R)\overline{\cup_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}}=L^{2}(\mathbb{R})이고 ∩j∈ZVj={0}\cap_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}=\left\{ 0\right\}이다.

(c) ∀j∈Z\forall j\in \mathbb{Z}, Vj+1=D(Vj)V_{j+1}=D(V_{j})이다.

(d) ∀k∈Z\forall k \in \mathbb{Z}, f∈V0f \in V_{0}이면 Tkf∈V0T_{k}f \in V_{0}이다.

(e) {Tkϕ}k∈Z\left\{ T_{k} \phi\right\}_{k\in \mathbb{Z}}가 V0V_{0}의 정규직교기저이다.

({Vj},ϕ)(\left\{ V_{j} \right\},\phi)가 멀티레졸루션 아날리시스이면, ϕ\phi가 멀티레졸루션 아날리시스를 생성한다generate고 말한다. TkT_{k}는 트랜슬레이션, DD는 다일레이션이다.

증명

ϕ\phi가 멀티레졸루션 아날리시스를 생성한다고 가정하였으므로 (e) 에 의해 {Tkϕ}k∈Z\left\{ T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}는 V0V_{0} 정규직교기저이다. k=0k=0일 때를 생각해보면, ϕ∈V0\phi \in V_{0}이다. 그런데 (a) 의해 V0⊂V1V_{0}\subset V_{1}이므로, ϕ∈V1\phi \in V_{1}이다. 또한 (c) 에 의해서 V1=D(V0)V_{1}=D(V_{0})이므로,

D−1ϕ∈V0 D^{-1}\phi \in V_{0}

이다. V0V_{0}는 벡터 공간이므로 상수배에 대해 닫혀있다. 따라서

12D−1ϕ∈V0 \frac{1}{\sqrt{2}}D^{-1}\phi \in V_{0}

그런데 {T−kϕ}k∈Z\left\{ T_{-k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}가 V0V_{0}의 정규직교기저였으므로 계수 {ck}\left\{ c_{k} \right\}가 존재하여 아래와 같이 표현할 수 있다.

12D−1ϕ=∑k∈ZckT−kϕ \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}}D^{-1}\phi = \sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}T_{-k}\phi \label{eq2} \end{equation}

보조정리

놈 공간 VV 위의 유계선형작용소 TT가 주어졌다고 하자. {vk}k=1∞\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}는 VV의 원소의 수열이다. 어떤 상수 {ck}k=1∞\left\{ c_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}에 대해서 ∑k=1∞ckvk\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{v}_{k}가 수렴하면 T∑k=1∞ckvk=∑k=1∞ckTvk T\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{v}_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}T\mathbf{v}_{k} 가 성립한다.

이제 (eq2)\eqref{eq2}의 양변에 푸리에 변환을 적용하자. 그러면 위의 보조정리에 의해

12FD−1ϕ=F∑k∈ZckT−kϕ=∑k∈ZckFT−kϕ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\mathcal{F}D^{-1}\phi&= \mathcal{F}\sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}T _{-k}\phi \\ &= \sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}\mathcal{F}T _{-k}\phi \end{align*}

이때 FD−1=DF\mathcal{F}D^{-1}=D\mathcal{F}이고, FT−k=EkF\mathcal{F}T_{-k}=E_{k}\mathcal{F}이므로,

12Dϕ^(γ)=∑k∈ZckEkϕ^(γ) \frac{1}{\sqrt{2}}D \hat{\phi}(\gamma) = \sum _{k\in \mathbb{Z}}c_{k}E_{k}\hat{\phi}(\gamma)

이제 다일레이션과 모듈레이션을 적용하면

ϕ^(2γ)=∑k∈Zcke2πikγϕ^(γ) \hat{\phi}(2\gamma) =\sum _{k \in \mathbb{Z}}c_{k}e^{2\pi i k \gamma}\hat{\phi}(\gamma)

여기서 H0(γ):=∑k∈Zcke2πikγH_{0}(\gamma) := \sum \limits_{k \in \mathbb{Z}}c_{k}e^{2\pi i k \gamma}로 정의하면 주기가 11인 함수가 된다. 따라서

ϕ^(2γ)=H0(γ)ϕ^(γ),γ∈R \hat{\phi}(2\gamma) = H_{0}(\gamma)\hat{\phi}(\gamma),\quad \gamma \in \mathbb{R}

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