📂기하학

기울기가 m인 원의 접선의 방정식

공식

원 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$y=mx \pm r\sqrt{m^{2}+1}$$

증명

기울기가 $m$인 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라고 하자. 원의 방정식에 대입하고 x에 대해서 정리하면

$$\begin{align*} x^2+(mx+n)^2 =&\ r^2 \\ x^2+m^2x^2+2mnx+n^2-r^2 =&\ 0 \\ (1+m^2)x^2+2mnx+n^2-r^2 =&\ 0 \end{align*}$$

원과 직선이 접하므로 판별식은 $D=0$이다.

$$\begin{align*} D =&\ (2mn)^2-4(1+m^2)(n^2-r^2) \\ =&\ 4m^2n^2-4(n^2-r^2+m^2n^2-m^2r^2) \\ =&\ 4m^2n^2-4n^2+4r^2-4m^2n^2+4m^2r^2 \\ =&\ -4(n^2-r^2-m^2r^2)=0 \end{align*}$$

따라서

$$\begin{align*} && n^2 =&\ r^2m^2+r^2=r^2(m^2+1) \\ \implies && n =&\ \pm r\sqrt{m^2+1} \end{align*}$$

따라서 원 $x^2+y^2=r^2$에 접하면서 기울기가 $m$인 접선의 방정식은

$$y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$$

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