멱급수의 적분
정리
멱급수 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n}$이 $\left| x \right| \lt R$에서 수렴한다고 하자. 그리고 함수 $f$를 다음과 같이 정의하자.
$$ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n} \qquad \left| x \right| \lt R \tag{1} $$
그러면 함수 $f$는 $(-R, R)$에서 적분가능하고, 그 부정적분은 다음과 같다.
$$ \int f(x) dx = C + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n + 1} x^{n+1} \qquad \left| x \right| \lt R \tag{2} $$
또한 $f$와 $\displaystyle \int f$의 수렴반경은 같다.
설명
$(2)$는 마치 $(1)$의 무한한 항을 항별로 적분한 것과 같은 결과를 준다. 즉 멱급수를 미분할 때 다항함수를 적분하는 것처럼 해도 된다는 말이다.
$$ \int \left[ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n} \right] dx = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \int c_{n}x^{n} dx $$
주의해야 할 것은 $\displaystyle \int f$의 수렴반경이 $f$와 같다는 것이다. 이는 $f$와 $\displaystyle \int f$의 수렴구간이 같다는 뜻은 아니며, 구간의 끝 점에서는 수렴성이 달라질 수 있다.
증명
구간 $[a, b]$에서 적분가능한 함수들의 수열 $\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is integrable on } [a, b] \right\}$이 $[a, b]$에서 $f$로 균등 수렴한다고 하자. 그러면 $f$도 $[a, b]$에서 적분가능하고 다음이 성립한다.
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx $$
$f_{N}(x) = \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n}$이라 하자. 그러면 $f_{N}$은 $[a, b] \subset (-R, R)$에서 $f$로 균등수렴한다. 따라서 위의 보조정리에 의해서 다음이 성립한다. $ \left| x \right| \lt R$에서,
$$ \begin{align*} \int f(x) dx = \int \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n} dx &= \lim\limits_{N \to \infty} \int \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n} dx \\ &= C + \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^{N} \dfrac{c_{n}}{n + 1} x^{n+1} \\ &= C + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n + 1} x^{n+1} \end{align*} $$
또한 $\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n}} = 1$이므로,
$$ \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\dfrac{|c_{n}|}{n}} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|} $$
따라서 급수 $\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n + 1} (x-a)^{n+1}$의 수렴반경은 $f$와 같다.
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