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구면조화함수의 규격화

정리

규격화된 구면조화함수는 아래와 같다.

$$Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi}$$

$$\nabla ^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \phi}=0$$

$$f(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta (\theta)\Phi (\phi)$$

설명

구면좌표계에 대한 라플라스 방정식에서 극각 $\theta$, 방위각 $\phi$에 대한 해를 구면조화함수라 한다. $$\Theta (\theta)\Phi (\phi)=Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos \theta)$$ 양자역학에서 구면조화함수를 파동함수로서 다루려면 규격화를 해야한다. $$\iiint |R(r)\Theta (\theta) \Phi (\phi)|^{2}r^{2}\sin \theta dr d \theta d\phi=\int_{0}^{\infty}|R(r)|^{2}r^{2}dr\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}|Y_{l}^{m}(\theta,\phi)|^{2}\sin\theta d\theta d\phi=1$$ 여기서 구면조화함수인 각도성분만 따로 빼고 규격화 상수를 $C$라고 하자. 그러면 $$\begin{align*} &&& |C|^{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}|Y_{l}^{m}(\theta,\phi)|^{2}\sin\theta d\theta d\phi=1 \\ \implies &&&|C|^{2}\int_{0}^{2\pi}|e^{im\phi}|^{2} d\phi\int_{0}^{\pi}|P_{l}^{m}(\cos \theta)|^{2}\sin\theta d\theta =1 \\ \implies &&&2\pi|C|^{2}\int_{0}^{\pi}|P_{l}^{m}(\cos \theta)|^{2}\sin\theta d\theta =1 \end{align*}$$ 이때 $\theta$에 대한 적분은 버금 르장드르 다항식의 직교성에 의해 $\frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}$이므로 $$C=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}$$ 따라서 규격화된 구면조화함수는 아래와 같다. $$Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi}$$ 보통 양자역학에서 구면조화함수라고 하면 별 다른 말이 없어도 규격화되어있다는 것을 가정한다.