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물리학에서 델 연산자란 📂수리물리

물리학에서 델 연산자란

설명

물리학에서 연산자는 함수를 함수에 대응시키는 함수를 말한다. 그 중에서도 델 연산자del operator란 어떤 함수가 주어졌을 때, 그 함수의 도함수를 함숫값으로 가지는 함수이다. 연산자라는 말이 생소하다면 그냥 대상을 계산하는 규칙이라고 이해하면 된다. 예를 들어 ddx\dfrac{d}{dx}라는 함수에 ff를 집어넣으면 f′f^{\prime}라는 함숫값이 나온다.

ddx(f)=f′ \dfrac{d }{dx} \left( f \right) = f^{\prime}

델 연산자는 보통 아래와 같이 소개된다.

∇=∂∂xx^+∂∂yy^+∂∂zz^ \nabla = \frac{ \partial }{ \partial x }\hat{\mathbf{x}}+\frac{ \partial }{ \partial y }\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial }{ \partial z }\hat{\mathbf{z}}

위 식에서 보이는 것처럼 마치 벡터인 것처럼 다루기 때문에 ∇⃗\vec{\nabla}와 같이 표기하기도 한다. 이를 이용해서 스칼라 함수 ff와 벡터 함수 A=Axx^+Ayy^+Azz^\mathbf{A}=A_{x}\hat{\mathbf{x}}+A_{y}\hat{\mathbf{y}}+A_{z}\hat{\mathbf{z}}에 대한 세가지 연산을 배운다. 아래의 세 연산은 위에서부터 차례대로 ff의 그래디언트, A\mathbf{A}의 다이벌전스, A\mathbf{A}의 컬이라고 한다.

∇f=∂f∂xx^+∂f∂yy^+∂f∂zz^∇⋅A=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z∇×A=(∂Az∂y−∂Ay∂z)x^+(∂Ax∂z−∂Az∂x)y^+(∂Ay∂x−∂Ax∂y)z^ \begin{align*} \nabla f&=\frac{ \partial f }{ \partial x }\hat{\mathbf{x}}+\frac{ \partial f }{ \partial y }\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial f }{ \partial z }\hat{\mathbf{z}} \\ \nabla \cdot \mathbf{A}&= \frac{ \partial A_{x} }{ \partial x }+\frac{ \partial A_{y} }{ \partial y }+\frac{ \partial A_{z} }{ \partial z } \\ \nabla\times \mathbf{A}&= \left( \frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{x}} + \left( \frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{ \partial A_{z}}{\partial x} \right)\hat{\mathbf{y}} + \left( \frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y} \right)\hat{\mathbf{z}} \end{align*}

보면 알겠지만 ∇\nabla를 벡터인 것처럼 이해하면 위 계산을 자연스럽게 받아들일 수 있다. 하지만 이렇게 이해하는 것은 잘못됐다. 복잡한 수식이 등장할 경우 여러 부분에서 잘못된 계산을 하게 된다. 특히 델 연산자가 많이 들어가는 수식에서 계산 과정과 결과가 이해되지 않고 끙끙대며 시간을 낭비하는 일이 생길 수 있다.

위 식에서 우변의 값 또는 벡터를 좌변과 같이 표기하는 이유는 단순히 직관적으로 잘 맞아떨어지기 때문이며, 실제로는 ∇\nabla와 A\mathbf{A}의 내적이나 외적이 아니다. 각 문서에 들어가서 유도되는 과정을 보면 이해할 수 있을 것이다. 따라서 델 연산자라는 건 잊어버리고 ∇f\nabla f, ∇⋅A\nabla \cdot \mathbf{A}, ∇×A\nabla \times \mathbf{A}를 통째로 하나의 값 또는 벡터라고 이해해야한다.

  • (X) ∇f\nabla f = 델 연산자와 스칼라 함수의 곱

  • (O) ∇f\nabla f = 주어진 스칼라 함수를 세 공간좌표로 미분한 것을 각 성분으로 가지는 벡터 함수이며 ff가 어느 방향으로, 어느 만큼 증가하는지에 대한 정보를 갖고 있다.

혹은

벡터함수 A=(Ax,Ay,Az)\mathbf{A} = (A_{x}, A_{y}, A_{z})에 대해서, dAxdx+dAydy+dAzdz \frac{ d A_{x} }{ d x }+\frac{ d A_{y} }{ d y }+\frac{ dA_{z} }{ d z } 와 같은 꼴의 수식은 물리학에서 자주 등장하니 항상 다 길게 적을 필요 없도록 간단히 ∇⋅A \nabla \cdot \mathbf{A} 라고 표현하자고 약속한다. 편의상 ∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla = (\frac{ \partial }{ \partial x }, \frac{ \partial }{ \partial y }, \frac{ \partial }{ \partial z })라고 정의하면 직관적이고 찰떡같은 표기법이기 때문이다.

와 같이 이해하는 것이 올바르다.

두 벡터의 내적은 교환 가능하므로 ∇\nabla를 벡터라고 생각해버리면 ∇⋅A\nabla\cdot \mathbf{A}와 A⋅∇\mathbf{A}\cdot \nabla를 같은 것이라고 생각할 수 있다. 두 수식은 전혀 다르다. 애초에 ∇\nabla는 미분에 대한 연산이므로 순서가 매우 중요하다.

x(dfdx)x\left(\dfrac{df}{dx}\right)와 d(xf)dx\dfrac{d(xf)}{dx}의 결과는 같지 않다는 것을 생각하면 이해하기 쉬울 것이다. 따라서 A⋅∇\mathbf{A}\cdot \nabla는 두 벡터의 내적이라고 이해하는 것이 아니라 Ax∂∂x+Ay∂∂y+Az∂∂zA_{x}\frac{ \partial }{ \partial x }+A_{y}\frac{ \partial }{ \partial y }+A_{z}\frac{ \partial }{ \partial z }가 너무 길기 때문에 쉽게 표현하기 위해 만든 기호라고 이해해야한다. 또 다른 예로

∇×(A×B)=(B⋅∇)A−(A⋅∇)B+A(∇⋅B)−B(∇⋅A) \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A})

가 성립하기 때문에

∇×(∇×A)=(A⋅∇)∇−(∇⋅∇)A+∇(∇⋅A)−A(∇⋅∇) \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=(\mathbf{A} \cdot \nabla)\nabla - (\nabla \cdot \nabla)\mathbf{A} + \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \mathbf{A} (\nabla \cdot \nabla)

도 성립한다고 오해할 수 있지만 실제로는

∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla ^{2} \mathbf{A}

가 맞는 식이다. 앞선 예와 마찬가지로ddx(fg)=dfdxg+fdgdx\dfrac{d}{dx} (fg)=\dfrac{df}{dx}g+f\dfrac{dg}{dx}와 ddx(dfdx)=d2fdx2\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{df}{dx} \right) =\dfrac{d^2 f}{dx^2}의 결과가 전혀 다른 것과 비슷한 맥락이다.

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