양자역학에서 교환자란
정의
두 연산자 $A, B$에 대해서, $AB - BA$를 $A, B$의 교환자라고 정의라고 다음과 같이 표기한다.
$$ [A,B]=AB-BA $$
설명
처음 교환자의 정의를 접하면 $AB - BA = 0$이 아니냐는 의문이 들 수도 있다. 하지만 연산자는 행렬로 표현되고, 두 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않으므로 곱하는 순서에 따라 다른 결과가 나타날 수 있다.
양자역학을 공부하기 위해서는 벡터와 행렬, 내적에 대한 일반화가 필요하다. 연산자 또한 벡터(행렬)이므로 이를 행렬로 나타낼 수 있다. 교환자가 $0$인 두 연산자를 서로 교환가능commute하다고 말한다. 교환자를 사용하는 이유는 계산을 빠르게 하기 위함이다. 예를 들어 $P$를 운동량 연산자, $X$를 위치연산자 라고 하자. 파동함수 $\psi$에 대해서 아래의 식이 주어졌다고 하자.
$$ PX \psi - XP\psi = [P, X]\psi $$
$[P, X]$의 값을 모른다면 좌변에서 보이는 대로 풀어야한다. $\psi$에 $X$를 적용하고 $P$를 적용한 것(첫째항)에 $\psi$에 $P$를 적용하고 $X$한 것(둘째항)을 빼야하므로 계산이 길어지게 된다. 하지만 $[P, X]$의 값을 알면, 우변과 같이 번거로운 계산 과정이 줄어든다. 이 둘의 교환자는 $[P, X] = -\i\hbar$이므로 바로 답이 $-\i\hbar \psi$임을 알 수 있다.
반 교환자
한편 반 교환자는 아래와 같이 정의한다.
$$ \left\{A,B\right\}=AB+BA $$