산술 함수의 벨 급수
📂정수론산술 함수의 벨 급수
정의
주어진 산술 함수 f 와 소수 p 에 대해 다음과 같이 정의된 fp(x) 를 모듈로 p 에서 f 의 벨 급수 라한다.
fp(x):=n=0∑∞f(pn)xn
기초 성질
- [1] 유일성: 두 산술 함수 f,g 가 승법적라고 하자. 모든 소수 p 에 대해f=g⟺fp(x)=gp(x)
- [2] 디리클레 곱: 두 산술 함수 f,g 의 디리클레 곱이 h=f∗ g 이라고 하자. 그러면 모든 소수 p 에 대해
hp(x)=fp(x)gp(x)
이다. 만약 h 가 승법적이라면 역도 성립한다. 다시 말해, 모든 소수 p 에 대해h=f∗ g⟺hp(x)=fp(x)gp(x)
- [3] 완전 산술적 함수: f 가 완전 산술적이면
fp(x)=1−f(p)x1
설명
전통적인 의미에서의 무한 급수가 등장한다는 것은 본격적으로 해석적 정수론이 해석학을 도입한 것으로 보아도 좋다. 벨 급수는 특히 승법적 함수에 대해 연구할 때 유용한 개념으로써 다음과 같은 예를 생각해볼 수 있다.
Ip(x)=n=0∑∞I(pn)xn=1up(x)=n=0∑∞1⋅xn=1−x1Npα(x)=n∑∞pαnxn=1−pαx1λp(x)=0∑∞(−1)nxn=1+x1
이러한 벨 급수의 성질은 벨 급수의 해석학적인 논의를 통해 거꾸로 산술 함수에 대해 연구할 수 있다는 것이다:
- 리우빌 함수는 컨볼루션에 대한 인버스로써 뫼비우스 함수의 제곱 λ−1=(μ)2 을 가지는데, 벨 급수에 따라
[μp(x)]2=λp(x)1=1+x
이다. 이제 f 라는 승법적 함수를 다음과 같이 정의해보자.
f(n):=2ν(n)ν(n):={0k,n=1,n=p1a1⋯pkak
그러면 모듈로 p 에서 f 의 벨 급수는 다음과 같다.
fp(x)======1+n=1∑∞2ν(pn)xn1+n=1∑∞2xn1+1−x2x1−x1+x(1+x)1−x1[μp(x)]2up(x)
여기서 f 는 승법적 함수이므로 정리 [2]의 역방향에 따라 f=μ2∗ u 임을 알 수 있다. 이는 대수적으로만 접근할 수 있을 것 같은 산술 함수를 해석학까지 끌고 가서 연구할 수 있음을 보여주는 예제다. 만약 이걸 보고도 아름다움과 충격을 느낄 수 없다면 해석적 정수론 자체가 본인과 잘 맞지 않을 가능성이 높다. 빠르게 포기하고 다른 공부에 집중하는 것을 추천한다.
증명
[1]
(⇒) 자명하다. (⇐) fp(x)=gp(x) 면 모든 소수 p 에 대해 f(pn)=g(pn) 여야하므로 승법적 함수의 성질에 따라 f=g 다.
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[2]
(⇒)
pn 의 약수는 1,p,⋯,pn 이므로
h(pn)=d∣pn∑f(d)g(dpn)=k=0∑nf(pk)g(pn−k)
따라서 코시 곱에 따라
hp(x)====n=0∑∞h(pn)xnn=0∑∞k=0∑nf(pk)g(pn−k)xnn=0∑∞f(pn)xnn=0∑∞g(pn)xnfp(x)gp(x)
(⇐)
역이 성립하려면 h 가 승법적이라는 가정이 필요하다.전제 조건으로써 hp(x)=fp(x)gp(x) 이 주어져 있으므로 n=p1a1⋯pkak 라고 하면 (⇒) 에서의 논의를 거꾸로 해서 각각의 소수 pi 에 대해
h(piai)=d∣pin∑f(d)g(dpin)=k=0∑nf(pik)g(piai−k)
를 얻을 수 있다. 한편 h 의 승법성에 따라
h(n)====h(p1a1)⋯h(pkak)d∣p1n∑f(d)g(dp1n)⋯d∣pkn∑f(d)g(dpkn)d∣n∑f(d)g(dn)(f∗g)(n)
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[3]
f 는 완전 산술적이므로 소수 p 에 대해 f(pn)=[f(p)]n 이고
fp(x)=n=0∑∞[f(p)]nxn=1−f(p)x1
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