📂다변수벡터해석

벡터값 함수의 도함수

정의¹

벡터함수 $\mathbf{r} : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{3}$에 대해서, 아래의 극한이 존재하면 $\mathbf{r}$이 $t$에서 미분가능하다고 하며 그 값을 $\mathbf{r}$의 $t$에서의 미분계수^derivative라 한다.

$$ \dfrac{d \mathbf{r}}{d t} = \mathbf{r}^{\prime}(t) := \lim_{h \to 0} \dfrac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h} $$

모든 $t \in I$에 대해서 $\mathbf{r}^{\prime}(t)$가 존재하면, $\mathbf{r}$가 $I$에서 미분가능하다고 한다. $\mathbf{r}$이 $I$에서 미분가능할 때, $I$ 위에서 정의된 $\mathbf{r}^{\prime}$을 $\mathbf{r}$의 도함수^derivative라 한다.

설명

스칼라 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대한 도함수의 정의를 그대로 확장시킨 것이다.

$$ f^{\prime} (a) := \lim_{h \to 0} {{ f (a + h ) - f(a) } \over { h }} $$

정의에서 $\mathbb{R}^{3}$가 아니라 $\mathbb{R}^{n}$이어도 같은 방식으로 정의된다. 아래의 정리에 의해 $m$계 도함수는 다음과 같다.

$$ \mathbf{r}^{(m)}(t) = \left( f^{(m)}(t), g^{(m)}(t), h^{(m)}(t) \right) $$

정리

미분가능한 함수 $f_{i} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해서 $\mathbf{r}(t) = \left( f_{1}(t), \dots, f_{n}(t) \right)$이면,

$$ \mathbf{r}^{\prime}(t) = \left( f_{1}^{\prime}(t), \dots, f_{n}^{\prime}(t) \right) $$

증명

간단한 계산으로 보일 수 있다. 극한의 정의에 의해,

$$ \begin{align*} \mathbf{r}^{\prime}(t) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{(f_{1}(t+h), \dots, f_{n}(t+h)) - (f(t), \dots, f_{n}(t))}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{f_{1}(t+h) - f_{1}(t)}{h}, \dots, \dfrac{f_{n}(t+h) - f_{n}(t)}{h} \right) \\ &= \left( \lim_{h \to 0}\dfrac{f_{1}(t+h) - f_{1}(t)}{h}, \dots, \lim_{h \to 0}\dfrac{f_{n}(t+h) - f_{n}(t)}{h} \right) \\ &= \left( f_{1}^{\prime}(t), \dots, f_{n}^{\prime}(t) \right) \end{align*} $$

성질

두 벡터함수 $\mathbf{u}, \mathbf{v} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$와 스칼라함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, 상수 $c \in \mathbb{R}$에 대해서 다음이 성립한다.

1. 선형성: $\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \pm \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}^{\prime}(t) \pm \mathbf{v}^{\prime}(t)$

2. 선형성: $\dfrac{d}{dt} [c \mathbf{u}(t)] = c \mathbf{u}^{\prime}(t)$

3. 곱의 미분법: $\dfrac{d}{dt} [f(t) \mathbf{u}(t)] = f^{\prime}(t) \mathbf{u}(t) + f(t) \mathbf{u}^{\prime}(t)$

4. 내적의 미분법: $\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}^{\prime}(t)$

5. 외적의 미분법: $\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}^{\prime}(t) \times \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}^{\prime}(t)$

6. 연쇄법칙: $\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(f(t))] = \mathbf{u}^{\prime}(f(t)) f^{\prime}(t)$