📂집합론

합집합 공리

공리

$$ \forall X \left( \exists U \left( \forall a \left( a \in x \land x \in X \implies a \in U \right) \right) \right) $$ 임의의 집합 $X$ 에 대해 $X$ 모든 원소들의 원소들을 포함하는 집합 $U$ 가 존재한다.

합집합의 정의 ¹

합집합 공리는 다음과 같이 정의되는 합집합의 존재성을 보장한다. $$ x \in A \lor x \in B \iff x \in A \cup B $$ 임의의 두 집합 $A$, $B$ 에 대해 적어도 둘 중 하나에 속하는 원소들의 집합을 $A$ 와 $B$ 의 합집합이라 하고, $A \cup B$ 와 같이 나타낸다.

설명

합집합 공리와 합집합의 정의는 엄연히 다르다. 물론 정의는 단순히 어떠한 개념을 말할 뿐이고 공리가 그 존재성을 보장한다는 차이점도 있지만, 합집합 공리의 설명에서 ‘원소의 원소들을 포함하는’이라는 표현이 다르다. 원소1의 원소2라고 한다면 원소1은 당연히 집합이며, 원소1의 모양은 짝 공리를 통해 존재성이 보장된 $\left\{ A, B \right\}$ 의 $A$, $B$ 와 같이 생긴 것이다. 말하자면 그냥 합집합은 $U = A \cup B$ 와 같이 $A$ 와 $B$ 사이의 연산 $\cup$ 으로 만들어지는 것으로 볼 수 있고, 정확히 합집합 공리가 말하고자 하는 합집합의 개념은 $X = \left\{ A, B \right\}$ 와 같은 집합의 집합이 주어져 있을 때 $U(X) := \left\{ a \in x : x \in X \right\}$ 와 같은 것을 말한다.

사실 보통 학부 수준 이하의 수학을 다룰 때 이러한 구분은 큰 의미가 없지만, 흥미본위로라도 공리를 이해하고 싶거나 드물게도 필요한 상황이라면 정확하게 짚고 넘어가야 할 것이다.

기초 성질

집합 $X$ 의 부분집합 $A$, $B$, $C$ 에 대해 다음이 성립한다.

• [1] 항등 법칙: $$ A \cup \emptyset = A \\ A \cap X = A $$
• [2] 멱등 법칙: $$ A \cup A = A \\ A \cap A = A $$
• [3] 교환 법칙: $$ A \cup B = B \cup A \\ A \cap B = B \cap A $$
• [4] 결합 법칙: $$ A \cup ( B \cup C) = (A \cup B) \cup C \\ A \cap (B \cap C) = ( A \cap B ) \cap C $$
• [5] 분배 법칙: $$ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $$
• [6] 드 모르간의 정리: $$ (A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \\ (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} $$
• [7] $$ (A \setminus B)^{c} = A^{c} \cup B $$

증명

[7]

$$ \begin{align*} x \in (A \setminus B)^{c} &\iff x \notin A \setminus B \\ &\iff x \notin A \text{ or } x \in B \\ &\iff x \in A^{c} \text{ or } x \in B \\ &\iff x \in A^{c} \cup B \end{align*} $$

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