집합의 포함관계
📂집합론집합의 포함관계
정의
A⊂B⟺∀x(x∈A⟹x∈B)
임의의 집합 A, B 에 대하여 A 의 모든 원소가 B 의 원소일 때 A 는 B 의 부분집합subset, B 는 A 의 초집합superset이라 하고 A⊂B 와 같이 나타낸다.
설명
한편 A⊂B 인데 B⊂A 이면 A 를 B 의 진부분집합proper Subset이라고하고 A⊊B 와 같이 나타낸다.
사소한 주의사항으로, A⊂B 은 A 가 B 에 포함된다고 말하고 a∈A 은 a 가 A 에 속한다고 말한다는 것이다. 그게 그거라고 생각해도 어쩔 수 없기는 하다. 실제 언어습관 상 헷갈릴때도 많고, 뜻이 통하면 억지로 걸고 넘어가는 사람은 거의 없기 때문이다. 그러나 포함관계란 어디까지나 집합끼리 정의된 것이며, a∈A 를 ‘집합과 원소의 속함관계’와 같이 말하진 않는다는 것을 생각해보면 일단 알고는 있어야할 차이점이다.
정리: 포함관계의 추이성transitivity
임의의 집합 A, B, C 에 대해
A⊂B∧B⊂C⟹A⊂C
증명
가정에 따라
A⊂B⟺∀x(x∈A⟹x∈B)B⊂C⟺∀x(x∈B⟹x∈C)
삼단논법에 의해
∀x(x∈A⟹x∈C)⟺A⊂C
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