📂집합론

집합의 포함관계

정의 ¹

$$ A \subset B \iff \forall x (x\in A \implies x \in B) $$ 임의의 집합 $A$, $B$ 에 대하여 $A$ 의 모든 원소가 $B$ 의 원소일 때 $A$ 는 $B$ 의 부분집합^subset, $B$ 는 $A$ 의 초집합^superset이라 하고 $A \subset B$ 와 같이 나타낸다.

설명

한편 $A \subset B$ 인데 $B \not\subset A$ 이면 $A$ 를 $B$ 의 진부분집합^{proper Subset}이라고하고 $A \subsetneq B$ 와 같이 나타낸다.

사소한 주의사항으로, $A \subset B$ 은 $A$ 가 $B$ 에 포함된다고 말하고 $a \in A$ 은 $a$ 가 $A$ 에 속한다고 말한다는 것이다. 그게 그거라고 생각해도 어쩔 수 없기는 하다. 실제 언어습관 상 헷갈릴때도 많고, 뜻이 통하면 억지로 걸고 넘어가는 사람은 거의 없기 때문이다. 그러나 포함관계란 어디까지나 집합끼리 정의된 것이며, $a \in A$ 를 ‘집합과 원소의 속함관계’와 같이 말하진 않는다는 것을 생각해보면 일단 알고는 있어야할 차이점이다.

정리: 포함관계의 추이성^transitivity

임의의 집합 $A$, $B$, $C$ 에 대해 $$A \subset B \land B \subset C \implies A \subset C$$

증명

가정에 따라 $$ A \subset B \iff \forall x (x\in A \implies x \in B) \\ B \subset C \iff \forall x (x\in B \implies x \in C) $$ 삼단논법에 의해 $$ \forall x (x\in A \implies x \in C) \iff A \subset C $$

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