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집합의 포함관계 📂집합론

집합의 포함관계

정의 1

AB    x(xA    xB) A \subset B \iff \forall x (x\in A \implies x \in B) 임의의 집합 AA, BB 에 대하여 AA 의 모든 원소가 BB 의 원소일 때 AABB부분집합subset, BBAA초집합superset이라 하고 ABA \subset B 와 같이 나타낸다.

설명

한편 ABA \subset B 인데 B⊄AB \not\subset A 이면 AABB진부분집합proper Subset이라고하고 ABA \subsetneq B 와 같이 나타낸다.

사소한 주의사항으로, ABA \subset BAABB 에 포함된다고 말하고 aAa \in AaaAA 에 속한다고 말한다는 것이다. 그게 그거라고 생각해도 어쩔 수 없기는 하다. 실제 언어습관 상 헷갈릴때도 많고, 뜻이 통하면 억지로 걸고 넘어가는 사람은 거의 없기 때문이다. 그러나 포함관계란 어디까지나 집합끼리 정의된 것이며, aAa \in A 를 ‘집합과 원소의 속함관계’와 같이 말하진 않는다는 것을 생각해보면 일단 알고는 있어야할 차이점이다.

정리: 포함관계의 추이성transitivity

임의의 집합 AA, BB, CC 에 대해 ABBC    ACA \subset B \land B \subset C \implies A \subset C

증명

가정에 따라 AB    x(xA    xB)BC    x(xB    xC) A \subset B \iff \forall x (x\in A \implies x \in B) \\ B \subset C \iff \forall x (x\in B \implies x \in C) 삼단논법에 의해 x(xA    xC)    AC \forall x (x\in A \implies x \in C) \iff A \subset C


  1. 이흥천 역, You-Feng Lin. (2011). 집합론(Set Theory: An Intuitive Approach): p77. ↩︎