チコノフの定理の証明
定理
インデックス集合$\mathscr{A}$が与えられているとしよう。
$\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$がコンパクト空間の集合ならば、$\displaystyle X : = \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_{ \alpha}$はコンパクトである。
説明
名前までついた定理のわりには、取るに足らない性質のように見えるが、実際はその逆と見るのが正しい。取るに足らない性質のように見えて、意外にも証明があまりにも難しく、定理に名前までついてしまったのだ。有用さでは誰にも引けを取らないコンパクト性が位相空間のデカルト積に対しても保たれるというのは、この上なく良いことである。
証明
$U_{\alpha} \subset X_{\alpha}$を$X_{\alpha}$のオープンセットとし、射影$p_{\alpha} : X \to X_{\alpha}$に対して、$X$の積位相を生成する部分基底を次のように定義しよう。 $$ \mathscr{S} : = \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( U_{\alpha} ) \ | \ U_{\alpha} \subset X_{\alpha} , \alpha \in \mathscr{A} \right\} $$ アレクサンダー部分基底定理を利用するために、$\mathscr{S}$のすべての開被覆が有限部分被覆を持つことを示す。
アレクサンダー部分基底定理: $X$が位相空間だとしよう。 $X$はコンパクトである。$\iff$ $\mathscr{S}$のメンバーからなる$X$のすべての開被覆が有限部分被覆を持つようにする、$X$のある部分基底$\mathscr{S}$が存在する。
Part 1.
有限部分被覆を持たない開被覆$\mathscr{U} \subset \mathscr{S}$が存在すると仮定してみよう。
$V$は$X_{\alpha}$における開集合を表すとしよう。すべての$\alpha \in \mathscr{A}$に対して $$ \mathscr{U}_{\alpha} = \left\{ V \mid p_{\alpha}^{-1} (V) \in \mathscr{U} \right\} $$ とすると、$\mathscr{U}$は次のようになる。 $$ \mathscr{U} = \bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}} \left\{ p_{\alpha}^{-1} (V) \ | \ V \in \mathscr{U}_{\alpha} \right\} $$
Part 2. $\alpha \in \mathscr{A}$に対して$\mathscr{U}_{\alpha}$が$X_{\alpha}$の開被覆でないことを示す。
$\mathscr{U}_{\alpha}$が$X_{\alpha}$を被覆すると仮定しよう。
$X_{\alpha}$はコンパクトなので、$\displaystyle X_{\alpha } = \bigcup_{i=1}^{n} U_{\alpha_{i}}$を満たす$U_{\alpha_{1}} , \cdots , U_{\alpha_{n}} \in \mathscr{U}_{\alpha}$が存在する。すると $$ \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( U_{\alpha_{i}} ) \ | \ i = 1, \cdots , n \right\} $$ は$\mathscr{U}$の有限部分被覆となるが、これはPart 1での$\mathscr{U}$の定義と矛盾する。従って、$\mathscr{U}_{\alpha}$は$X_{\alpha}$の被覆になり得ない。
Part 3.
$\mathscr{U}_{\alpha}$は$X_{\alpha}$の被覆でないので、すべての$U_{\alpha} \in \mathscr{U}_{\alpha}$に対して$x_{\alpha} \notin U_{\alpha}$を満たす$x_{\alpha} \in X_{\alpha}$が存在する。すると、すべての$U \in \mathscr{U}$に対して$p_{\alpha}^{-1} (x_{\alpha} ) \notin U$であり、$\mathscr{U}$は$X$の被覆になり得ない。これは、有限部分被覆を持たない開被覆$\mathscr{U} \subset \mathscr{S}$が存在しないという意味である。アレクサンダー部分基底定理により、$X$はコンパクトである。
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