📂집합론

집합과 명제함수의 정의

정의 ¹

1. Set: 우리의 직관 또는 사고의 대상으로써 서로 뚜렷이 구분되는 객체의 모임을 집합이라 한다.
2. Element: 집합에 속한 객체를 원소라고 한다.
3. Propositional Function: 집합 $U$ 의 원소 $x$ 에 대해 참이거나 거짓 둘 중 하나인 명제 $p(x)$ 를 $U$ 에서의 명제함수라고 한다.

설명

1. 수학에서 집합은 거의 모국어 하나에 필적할만큼 중요한 개념이다. 어쩌면 자연어보다 나을 수도 있는 게, 필연적으로 따라붙는 애매모호함을 제거하고 그 정의와 형식만으로 논리를 전개하게 해주기 때문이다.
2. 보통 원소는 소문자로, 집합은 대문자로 쓰며 $a$ 가 $A$ 에 속하면 $a \in A$ 이라 쓰고 $a$ 가 $A$ 의 원소라고 말한다. 물론 원소와 집합을 반드시 알파벳 대소문자로 나타내야하는 것은 아니고, 보통 모든 자연수의 집합을 $\mathbb{N}$ 과 같이 나타내는데 $N \in \mathbb{N}$ 와 같이 써도 아무 문제 없다.
   1. Enumeration: 자연수의 집합 $\mathbb{N}$ 은 $\left\{ 1 , 2, 3, \cdots \right\}$ 와 같이 나타낼 수 있다. 이렇게 집합의 원소를 직접 써서 나타내는 표기법을 원소나열법이라 한다.
   2. Set-Builder Notation: 원소나열법과 달리 집합을 특정 조건을 만족하는 원소만을 모은 집합으로 표현할 수도 있다. 가령 $5$ 보다 큰 자연수만을 가지는 집합을 표현하고 싶다면 싶다면, 명제함수 $p(x): x > 5$ 에 대해 $\left\{ x \in \mathbb{N} : p(x) \text{ is truth} \right\}$ 와 같이 나타내는 것이다. 이는 더욱 간단하게 명제함수를 따로 정의하지 않고 $\left\{ x \in \mathbb{N} : x > 5 \right\}$ 와 같이 나타낸다. 이런 표기법을 조건제시법이라 한다.
3. 명제함수는 명제함수 그 자체로 정의된다는 것에 주의해야한다. 물론 집합론에서 말하는 함수의 정의에 부합하지만, 그것에 의존하지 않고 명제만으로 정의할 수 있다는 것이 중요하다. 이러한 부분이 불분명하다면 조건제시법을 자유롭게 사용하기 어려워서 함수가 함수로 순환정의되는 사단이 날 수 있다. 한편 명제함수는 논리식이라고도 불린다.