📂측도론

시그마 유한 측도

정의 ¹

가측 공간 $( X , \mathcal{E} )$가 주어져있다고 하자.

1. $\mu (X) < \infty$ 이면 $\mu$ 를 유한 측도라고 한다.
2. $$\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i} \qquad , E_{i} \in \mathcal{E}$$ 라고 할 때 모든 $i \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\mu ( E_{i} ) < \infty$ 면 시그마 유한 측도라고 한다. 또한 순서쌍 $(X, \mathcal{E}, \mu)$를 시그마 유한 측도 공간이라 한다.
3. $\mu ( E ) = \infty$ 인 모든 $E \in \mathcal{E}$ 에 대해 $0 < \mu (F) < \infty$ 를 만족하는 $E$ 의 부분집합 $F \in \mathcal{E}$ 이 존재하면 $\mu$ 를 준유한^semifinite 측도라고 한다.
4. $\nu$가 주어진 가측 공간위의 부호 측도일 때 토탈 배리에이션 $| \nu |$가 유한(시그마 유한) 측도이면 $\nu$를 유한(시그마 유한) 측도라 한다.

설명

1. 유한 측도의 대표적인 예로써 확률이 있다.
2. 시그마 유한 측도는 유한 측도에서 전체 집합 $X$ 에 대한 조건이 약화된 것이다. 전체 집합을 이루는 $E_{i}$ 는 유한으로 보내야하지만 그 합인 $\displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N}} \mu ( E_{i} )$ 까지 유한일 필요는 없다. 즉, $\mu (X)=\infty$이든 $\mu (X) <\infty$이든 상관없다. 정의에 따라 $\mu (X)<\infty$인 시그마 유한 측도는 유한 측도가 된다.
3. 준유한 측도의 정의에서 포인트로 보아야할 것은 $F$ 가 $0 < \mu (F)$ 를 만족시킨다는 점이다. 이러한 조건이 없다면 시그마 대수에는 공집합이 포함되므로 모든 측도가 이를 만족시킬 수 있기 때문이다. 모든 시그마 유한 측도는 준유한 측도이지만 역은 성립하지 않는다.
4. 아래의 조건이 동치임을 쉽게 확인할 수 있다.
   • $(a)$ $\nu$가 시그마 유한이다.
   • $(b)$ $\nu^+$, $\nu^-$가 시그마 유한이다.
   • $(c)$ $| \nu |=\nu^+ + \nu^-$가 시그마 유한이다.