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약한 콘 조건 📂소볼레프공간

약한 콘 조건

정의1

ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}열린 집합이라고 하자. 임의의 점 xΩx \in \Omega가 주어졌다고 하자. R(x)R(x)xx에서부터 yΩy \in \Omega까지의 선분이 다시 Ω\Omega안에 포함되도록 하는 yy들의 집합이라고 하자. 즉 R(x)R(x)xx에서부터 시작되는 Ω\Omega안의 모든 선분 위의 점들의 집합이다. 그리고 Γ(x)\Gamma (x)를 아래와 같이 정의하자.

Γ(x):= {yR(x):yx<1}= R(x)B(x,1) \begin{align*} \Gamma (x) :=&\ \left\{ y \in R(x) : |y-x| \lt 1\right\} \\ =&\ R(x) \cap B(x,1) \end{align*}

만약 아래의 조건을 만족하는 δ>0\delta \gt 0가 존재하면 Ω\Omega가 약한 콘 조건weak cone condition을 만족한다고 말한다.

μn(Γ(x))δ, xΩ \mu_{n} \Big( \Gamma (x) \Big) \ge \delta, \quad \forall\ x \in \Omega

이때 μn\mu_{n}르벡 측도이다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p82 ↩︎