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아이젠슈타인 정수 📂정수론

아이젠슈타인 정수

정의

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Z[ω]:={a+ωb:a,b∈Z}\mathbb{Z} [ \omega ] := \left\{ a + \omega b : a, b \in \mathbb{Z} \right\} 를 아이젠슈타인 링eisenstein ring이라 하고, 그 원소를 아이젠슈타인 인티저라 한다.

정리

  • [1]: ω‾=ω2=−(1+ω)\overline{ \omega } = \omega^{2} = - (1 + \omega)
  • [2]: (a±ωb)+(c±ωd)=(a±c)+ω(b±d)( a \pm \omega b ) + ( c \pm \omega d) = (a \pm c) + \omega (b \pm d)
  • [3]: (a+ωb)(c+ωd)=(ac−bd)+ω(ad−bd+bc)( a + \omega b )( c + \omega d) = (ac - bd) + \omega (ad - bd + bc)

설명

ω\omega 는 삼차방정식 x3+1=0x^3 +1 = 0 의 복소근 ω:=−1+−32=e2πi/3\displaystyle \omega := {{-1 + \sqrt{-3}} \over {2}} = e^{2 \pi i/3 } 으로써, Z[ω]\mathbb{Z} [\omega] 은 인티저 링 Z\mathbb{Z} 의 심플 익스텐젼이 된다. 가우스 정수만큼이나 흥미로운 성질을 가진 수 체계로써, 계산이 좀 더 복잡하지만 본질적으로 가우스 정수와 비슷하기에 크게 낯설지는 않다. 복소평면에서 보면 ii 는 1,i,−1,−i1,i,-1,-i 로 사각형 격자를 이루며 ω\omega 는 1,−ω2,ω,−1,ω2,−ω1, - \omega^2, \omega, -1, \omega^2, -\omega 로 삼각형 격자를 이룬다.

물론 가우스 정수에도 가우스 소수가 있듯, 아이젠슈타인 정수에도 아이젠슈타인 소수가 있다.

Z[i]\mathbb{Z} [i] 상에서는 다음과 같이 상식적인 수식전개가 가능하다: (7+ω2)(4−ω2)=(28+4)+ω(−14+4+8)=32−ω2 \begin{align*} (7 + \omega 2)(4 - \omega 2) =& (28 + 4) + \omega (- 14 +4 +8 ) \\ =& 32 - \omega 2 \end{align*} 또한 어떤 자연수 n∈Nn \in \mathbb{N} 이 주어졌을 때, 유한 링 Zn\mathbb{Z}_{n} 에 대해서도 Zn[i]\mathbb{Z}_{n}[i] 를 생각해볼 수 있다. 가령 n=7n = 7 이라고 할 때 위의 전개는 다음과 같이 바뀐다: (7+i2)(4−i2)=(28+4)+ω(−14+4+8)=32−ω2≡4−ω2(mod7)≡4+ω5(mod7) \begin{align*} (7 + i2)(4 -i 2) =& (28 + 4) + \omega (- 14 +4 +8 ) \\ =& 32 - \omega 2 \\ & \equiv 4 - \omega 2 \pmod{7} \\ & \equiv 4 + \omega 5 \pmod{7} \end{align*} 너무나 자연스럽게 합동식을 사용한 것에 주목하라. Z[i]\mathbb{Z} [i] 에서 됐다면 수학적 직관대로 Z[ω]\mathbb{Z} [\omega] 에서 되는 것도 상식적인것처럼 보인다. ii 를 거듭제곱해도 고차항이 생기지 않듯, ω\omega 역시 ω2=−(1+ω)\omega^2 = -(1+\omega) 처럼 차수를 떨어뜨릴 수 있다. 물론 이는 단순 계산이 아니라 심플 익스텐젼의 성질에 따라 수학적으로 보장되어 있는 사실이기도 하다.

한편 22 와 33 은 가장 작은 짝수 소수와 가장 작은 홀수 소수다. 실제로 공부해보면 가우스 정수에 대한 성질을 파고들수록 ii 는 222^2 에, 아이젠슈타인 정수에 대한 성질을 파고들수록 33 에 집착하는 느낌이 든다. 재미있게도 i‾=i3\overline{i} = i^3 이고 ω‾=ω2\overline{\omega} = \omega^2 인데, 보면 볼수록 순수수학이 아름답다는 것을 느낄 수 있다.

아이젠슈타인 링의 영인자 그래프는 알캄에 의해 연구되었다.

증명

[1]

ω\omega 의 정의와 컨쥬게이트의 성질에 따라 ω2=(e2πi/3)2=−eπi/3=−1+i32=(−1+i32)‾=ω‾=−(1+ω) \begin{align*} \omega^2 =& \left( e^{2 \pi i/3 } \right)^2 \\ =& - e^{ \pi i/3 } \\ =& - {{ 1 + i \sqrt{3} } \over { 2 }} \\ =& \overline{ \left( { -1 + i \sqrt{3} } \over { 2 } \right) } \\ =& \overline{ \omega } \\ =& - (1 + \omega) \end{align*}

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[2]

Z[ω]\mathbb{Z} [ \omega ] 는 링이고, 덧셈에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립하므로 (a±ωb)+(c±ωd)=a±ωb+c±ωd=a±c+ωb±ωd=(a±c)+ω(b±d) \begin{align*} ( a \pm \omega b ) + ( c \pm \omega d) =& a \pm \omega b + c \pm \omega d \\ =& a \pm c + \omega b \pm \omega d \\ =& (a \pm c) + \omega (b \pm d) \end{align*}

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[3]

정리 [1]과 [2]에 따라 (a+ωb)(c+ωd)=ac+ωad+ωbc−(1+ω)bd=(ac−bd)+ω(ad−bd+bc) \begin{align*} ( a + \omega b )( c + \omega d) =& ac + \omega ad + \omega bc -(1 + \omega) bd \\ =& (ac - bd) + \omega (ad - bd + bc) \end{align*}

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