📂전자기학

제피멩코 방정식

개요¹

연속전하분포가 시간에 따라 변할 때의 전기장은 다음과 같다.

$$ \mathbf{E} (\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int \left[ \frac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime}, t_{r}) }{\cR ^2} \crH + \frac{ \dot{\rho}(\mathbf{r}^{\prime}, t_{r})}{c\cR}\crH-\frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}^{\prime},t_{r}) }{c^2 \cR} \right]d\tau^{\prime} $$

연속전류분포가 시간에 따라 변할 때의 자기장은 다음과 같다.

$$ \mathbf{B}( \mathbf{r}, t) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \left[ \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},t_{r})}{\cR^2} + \dfrac{ \dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}^{\prime}, t_{r}) } {c\cR} \right]\times \crH d\tau^{\prime} $$

이 두 식을 묶어 제피멩코 방정식^{Jefimenko equation}이라 한다. 이때 $t_{r}$은 지연시각, $\bcR$는 분리벡터이다.

유도

전기장과 자기장은 아래의 식으로 구할 수 있다.

$$ \begin{align} \mathbf{E} &= -\nabla V-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\ \mathbf{B} &= \nabla \times \mathbf{A} \end{align} $$

이때 $V$와 $\mathbf{A}$는 시간에 따라 변하는 지연전위이고 아래와 같다.

$$ V(\mathbf{r},\ t)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \dfrac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) }{ \cR } d\tau^{\prime},\quad \mathbf{A}( \mathbf{r},\ t) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR}d\tau^{\prime} $$

$\cR$와 $t_{r}$이 $\mathbf{r}^{\prime}$을 포함하고 있기 때문에 계산이 마냥 쉬운 것은 아니다. $V$의 기울기는, 지연시각의 그래디언트가 $\nabla t_{r}=-\dfrac{1}{c} \crH$이고 분리벡터의 크기의 그래디언트가 $\dfrac{1}{\cR} = -\dfrac{1}{\cR^{2}}\crH$이므로 연쇄법칙에 의해,

$$ \begin{align} \nabla V &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \nabla \left( \dfrac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) }{ \cR } \right) d\tau^{\prime} \nonumber \\ &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \left[ \dfrac{1}{\cR}\nabla \rho (\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) + \rho (\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) \nabla \left( \dfrac{1}{\cR} \right) \right] d\tau^{\prime} \nonumber \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \left[ -\dfrac{1}{\cR}\dfrac{\partial \rho (\mathbf{r}^{\prime}, t_{r})}{\partial t_{r}} \nabla t_{r} -\rho (\mathbf{r}^{\prime},t_{r}) \dfrac { \crH} {\cR ^2} \right] d\tau^{\prime} \nonumber \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \left[ -\dfrac{\dot{\rho}(\mathbf{r}^{\prime}, t_{r})}{c \cR} {\crH} - \dfrac{\rho (\mathbf{r}^{\prime},t_{r})}{\cR ^2} \crH \right] d\tau^{\prime} \\ \end{align} $$

이고 벡터 지연 전위의 시간 도함수를 구하면

$$ \begin{align} \dfrac{\partial \mathbf{A}}{ \partial t} &= \dfrac{\partial}{\partial t} \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR}d\tau^{\prime} \nonumber \\ &= \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{1}{\cR} \dfrac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\partial t} d\tau^{\prime} \nonumber \\ &= \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\dot{ \mathbf{J}}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR} d\tau^{\prime} \end{align} $$

시간에 대한 변수와 공간에 대한 변수는 서로 독립적이므로 미적분 순서를 바꿀 수 있다. $(3)$, $(4)$를 $(1)$에 대입하면

$$ \begin{align*} \mathbf{E} (\mathbf{r},t) &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \left[ \dfrac { \rho (\mathbf{r}^{\prime},t_{r})} {\cR ^2}\crH +\dfrac{\dot{\rho}(\mathbf{r}^{\prime}, t_{r})}{c\cR} \crH \right]d\tau^{\prime} -\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\dot{ \mathbf{J}}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR} d\tau^{\prime} \\ &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \left[ \dfrac { \rho (\mathbf{r}^{\prime},t_{r})} {\cR ^2}\crH +\dfrac{\dot{\rho}(\mathbf{r}^{\prime}, t_{r})}{c\cR} \crH -\mu_{0}\epsilon_{0}\dfrac{\dot{ \mathbf{J}}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR} \right]d\tau^{\prime} \\ &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \left[ \dfrac { \rho (\mathbf{r}^{\prime},t_{r})} {\cR ^2}\crH +\dfrac{\dot{\rho}(\mathbf{r}^{\prime}, t_{r})}{c\cR} \crH -\dfrac{\dot{ \mathbf{J}}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{c^2\cR} \right]d\tau^{\prime} \end{align*} $$

마지막 등호는$\dfrac{1}{c^2}=\mu_{0} \epsilon_{0}$에 의해서 성립한다. 이는 전하밀도가 시간에 따라 변할 때의 쿨롱법칙이다. 만약 전하분포가 시간에 대해서 일정하면 정전기학에서 배운 쿨롱법칙과 같다.

자기장 $\mathbf{B}$에는 회전 연산자가 포함돼있어서 계산하기에 더 까다롭다.

$$ \nabla \times \mathbf{A} = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \left[ \nabla \times \left( \int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR} d\tau^{\prime} \right)\right] $$

이때 $\nabla \times$는 $(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})$에 대한 미분이고 $\int d\tau^{\prime}$는 $(\mathbf{x}^{\prime},\mathbf{y}^{\prime},\mathbf{z}^{\prime})$에 대한 적분이므로 서로 독립적이다. 따라서 순서를 바꿔줘도 되므로

$$ \begin{align} \nabla \times \mathbf{A} &= \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \nabla \times \dfrac{ \mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})}{\cR} d\tau^{\prime} \nonumber \\ &= \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \left[ \dfrac{1}{\cR}\big( \nabla \times \mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r})\big) - \mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) \times \nabla \left(\dfrac{1}{\cR}\right) \right]d\tau^{\prime} \end{align} $$

마지막 등호는 곱셈규칙 (e) $\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \times (\nabla f)$ 에 의해서 성립한다. 우선 $\nabla \times \mathbf{J}$의 각 성분을 구해보자.

$$ (\nabla \times \mathbf{J})_{x}=\dfrac{\partial J_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial J_{y}}{\partial z} $$

이때 미분의 연쇄법칙에 의해서

$$ \dfrac{\partial J_{z}}{\partial y}=\dfrac{\partial J_{z}}{\partial t} \dfrac{\partial t}{\partial t_{r}}\dfrac{\partial t_{r}}{\partial y} $$

이때 $t_{r}=t-\dfrac{\cR}{c}$이므로 $\dfrac{\partial t}{\partial t_{r}}=1$, $\dfrac{\partial t_{r}}{\partial y}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \cR}{\partial y}$이므로

$$ \dfrac{\partial J_{z}}{\partial y}=-\dfrac{1}{c} \dot{J_{z}}\dfrac{\partial \cR}{\partial y} $$

따라서

$$ \begin{align*} (\nabla \times \mathbf{J})_{x} &=-\dfrac{1}{c} \dot{J_{z}}\dfrac{\partial \cR}{\partial y}-\dfrac{1}{c} \dot{J_{y}}\dfrac{\partial \cR}{\partial z} \\ &= \frac{1}{c} \left( \dot{J_{y}}\dfrac{\partial \cR}{\partial z}-\dot{J_{z}}\dfrac{\partial \cR}{\partial y}\right) \\ &= \frac{1}{c} \left[ \dot{\mathbf{J}} \times (\nabla \cR) \right]_{x} \end{align*} $$

또한 $\nabla ( \acR)=\acrH$이므로

$$ \begin{equation} \nabla \times \mathbf{J} = \frac{1}{c} \left( \dot {\mathbf{J}} \times \crH \right) \end{equation} $$

그리고 $\nabla \left( \frac{1}{\acR} \right)=-\frac{1}{\acR^2}\acrH$이므로 $(6)$과 함께 $(5)$에 대입하면

$$ \begin{align*} \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\nabla \times \mathbf{A} &= \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \left[ \dfrac{1}{\cR} \frac{1}{c} \left( \dot {\mathbf{J}} \times \crH \right) + \mathbf{J} \times \frac{1}{\cR^2}\crH\right]d\tau^{\prime} \\ &= \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \left[\frac{ \mathbf{J} (\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) }{\cR^2} + \frac{ \dot {\mathbf{J}} (\mathbf{r}^{\prime},\ t_{r}) }{c\cR} \right]\times \crH d\tau^{\prime} \end{align*} $$

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