확장된 실수 체계
정의
다음과 같이 정의되는 집합을 확장된 실수 체계extended real number system라 한다.
$$ \overline{ \mathbb{R} } := \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty, +\infty\right\} $$
설명
해석학 등의 분야에서 종종 편의를 위해 실수 집합 $\mathbb{R}$ 대신 $\overline{ \mathbb{R} }$를 사용한다. $\pm \infty$는 숫자가 아니지만 숫자라고 퉁치고 $\mathbb{R}$에 추가하여 사용하면 편하다. 확장된 실수 체계 안에서 대소 비교와 연산 규칙은 아래와 같다.
모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해서
$$ -\infty < x <+\infty $$
$$ (\pm \infty) + (\pm \infty) = \pm \infty $$
$$ x + (\pm \infty)=\pm \infty+x=\pm \infty $$
$$ \dfrac{x}{+\infty}=0=\dfrac{x}{-\infty} $$
$$ (\pm \infty)(\pm\infty)=+ \infty $$
$$ (\pm \infty)(\mp \infty)=- \infty $$
$$ x(\pm \infty)=(\pm \infty)x=\begin{cases} \pm \infty & x>0 \\ 0 & x=0 \\ \mp \infty & x<0 \end{cases} $$
주의해야할 점은 $(\pm \infty)+(\mp \infty)$는 정의하지 않는다는 것이다.