📂해석개론

함수의 균등연속

정의¹

공집합이 아닌 $E \subset \mathbb{R}$ 에 대해 $f : E \to \mathbb{R}$ 이라고 하자. 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해

$$ | x_{1} - x_{2} | < \delta \land x_{1} , x_{2} \in E \implies | f(x_{1}) - f(x_{2}) | < \varepsilon $$

을 만족하는 $\delta>0$ 가 존재하면 $f$ 가 $E$ 상에서 균등연속^{uniformly continuous}이라 한다.

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• $\land$ 는 논리적으로 ‘그리고’를 나타내는 논리곱 기호다.

설명

함수의 연속성 그 자체는 $a \in E$ 와 같이 한 점에서의 개념인 것에 반해, 균등연속은 집합 $E$ 전체를 놓고 보는 개념이다. 예로써 연속함수 $f (x) := x^2$ 를 생각해보자.

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공집합이 아닌 $E \subset \mathbb{R}$ 에 대해 $f : E \to \mathbb{R}$ 라고 하자.

(a) 컴팩트 거리공간: $f$ 가 연속이고 $E$ 가 유계 폐구간이면 $f$ 는 균등연속이다.

(b) 수렴성 보존: $f$ 가 균등연속이고 $\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 이 코시면 $\left\{ f(x_{n}) \right\}$ 도 코시다.

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(1) $E = (0,1)$

$\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$ 이라고 잡으면 모든 $x_{1} , x_{2} \in (0,1)$ 에 대해 $| x_{1} - x_{2} | < \delta$ 이라고 할 때

$$ \begin{align*} | f(x_{1}) - f(x_{2}) | =& | x_{1}^{2} - x_{2}^{2} | \\ =& | x_{1} - x_{2} | | x_{1} + x_{2} | \\ \le & 2 | x_{1} - x_{2} | \\ & < & 2 \delta \\ =& \varepsilon \end{align*} $$

정의에 따라 $f$ 는 $E = ( 0 , 1 )$ 에서 균등연속이다.

(2) $E = \mathbb{R}$

$f$ 가 $E$ 에서 균등연속이라고 가정해보자. 그러면 $\varepsilon = 1$ 이 주어져 있을 때도

$$ | x_{1} - x_{2} | < \delta \land x_{1} , x_{2} \in E \implies | f(x_{1}) - f(x_{2}) | < 1 $$

를 만족하는 $\delta$ 가 존재해야한다. 그러나 아르키메데스 원리에 따라 $n \delta > 1$ 를 만족하는 $n \in \mathbb{N}$ 을 잡을 수 있다. 그러면 $x_{1} = n$, $x_{2} = \left( n + \dfrac{ \delta }{2} \right)$ 에 대해

$$ \begin{align*} 1 & < & n \delta \\ <& n \delta + {{ \delta^{2} } \over { 4 }} \\ =& \left| n^2 - \left( n + {{ \delta } \over {2}} \right)^2 \right| \\ =& \left| f( n ) - f \left( n + {{ \delta } \over {2}} \right) \right| \\ =& | f (x_{1} ) - f ( x_{2} ) | \\ <& 1 \end{align*} $$

정리하면 $1 < 1$ 인데, 이는 모순이므로 $f$ 는 $E = \mathbb{R}$ 에서 균등연속이 아니다.

한편 $g(x) = x$ 를 생각해보면 어떤 정의역 $E$ 를 생각하더라도 $\delta = \varepsilon$ 으로 잡음으로써 균등연속의 조건을 만족시킨다. 이러한 예시에서 직관적으로 생각해보면 균등연속함수는 일종의 ‘얌전한’ 함수임을 알 수 있다. $g$ 역시 $x$ 를 무한대로 보내면 발산이야 한다. 하지만 $f(x) = x^2$ 처럼 난폭하게 커지는 것이 아니라 어느정도의 선을 지켜가며 커진다. 세상 그 어떤 일이든 얌전한 것이 난폭한 것보다 다루기 쉬운 것은 당연한 이치고, 균등연속함수가 연속함수보다 더 좋은 조건을 갖췄다는 것도 말이 된다.

(b) 에서 균등연속이 가정되지 않고 연속함수이기만 한 경우를 생각해보자.

$\displaystyle h(x) := {{1} \over {x}}$ 은 연속함수고, $\displaystyle x_{n} := {{1} \over {n}}$ 이라고 하면 $\left\{ x_{n} \right\}$ 은 $0$ 으로 수렴하는 코시 수열이다. 하지만 $\displaystyle h (x_{n} ) = {{1} \over { {{1} \over {n}} }} = n$ 이므로 $\left\{ h ( x_{n} ) \right\}$ 은 코시 수열이 아님을 알 수 있다.