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베셀 방정식의 유도 📂수리물리

베셀 방정식의 유도

정의

다음의 미분방정식을 ν\nu차 베셀 방정식Bessel’s equation of order ν\nu이라 한다.

x2y′′+xy′+(x2−ν2)y= 0x(xy′)′+(x2−ν2)y= 0y′′+1xy′+(1−ν2x2)y= 0 \begin{align*} x^2 y^{\prime \prime} +xy^{\prime} +(x^2-\nu^2)y =&\ 0 \\ x(xy^{\prime})^{\prime} + (x^2- \nu ^2) y =&\ 0 \\ y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime} + \left( 1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}} \right)y =&\ 0 \end{align*}

설명

베셀 방정식의 해를 베셀 함수Bessel function라 한다.

베셀 함수는 물리학, 공학 등에서 많이 볼 수 있으며, 특히나 원통 대칭이 있는 문제에서 쓰인다. 이런 이유로 베셀 함수는 실린더 함수cylinder function라는 이름도 갖고 있으나 잘 쓰이지 않는다.

유도

2차원 극좌표에서 파동 방정식은 다음과 같이 주어진다.

∂2u∂t2=c2(∂2u∂r2+1r∂u∂r+1r2∂2u∂θ2) \begin{equation} \dfrac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \dfrac{\partial ^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\dfrac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2} \dfrac{\partial ^2 u}{\partial \theta ^2}\right) \end{equation}

cc는 상수이다. 위 방정식의 해 uu를 변수 분리 가능한 함수라고 가정하자.

u(t,r,θ)=T(t)R(r)Θ(θ) u(t, r, \theta)=T(t)R(r)\Theta (\theta)

(1)(1)에 대입하면

T′′RΘ=c2(TR′′Θ+1rTR′Θ+1r2TRΘ′′) T^{\prime \prime}R\Theta=c^2\left( TR^{\prime \prime}\Theta + \dfrac{1}{r}TR^{\prime}\Theta + \frac{1}{r^2}TR\Theta^{\prime \prime} \right)

양변을 c2TRΘc^2TR\Theta로 나누면

T′′c2T=R′′R+R′rR+Θ′′r2Θ \dfrac{T^{\prime \prime}}{c^2T}=\dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{r^2\Theta}

좌변은 오로지 tt에 대한 함수이고 우변은 rr, θ\theta에 대한 함수이므로 위 식의 양변은 상수여야한다. 만약 좌변이 tt에 대해서 상수가 아니라면 tt 값이 바뀌었을 때 좌변은 값이 바뀌고 우변은 값이 바뀌지 않아서 등식이 성립하지 않는다. 따라서 모든 tt, rr, θ\theta에 대해서 양변은 상수이다. 그 상수를 −μ2-\mu ^2이라고 하자. 그러면

T′′c2T=R′′R+R′rR+Θ′′r2Θ=−μ2 \begin{equation} \dfrac{T^{\prime \prime}}{c^2T}=\dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{r^2\Theta}=-\mu^2 \end{equation}

먼저 rr, θ\theta에 대한 식부터 살펴보자.

R′′R+R′rR+Θ′′r2Θ=−μ2 \dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{r^2\Theta}=-\mu^2

양변에 r2r^2을 곱하고 rr과 θ\theta에 대한 식을 분리해주면

r2R′′R+rR′R+r2μ2=−Θ′′Θ \dfrac{r^2R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{rR^{\prime}}{R}+r^2\mu^2=-\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{\Theta}

위 식의 양변 또한 앞에서 언급했던 이유와 같은 이유로 상수이다. 이 상수는 ν2\nu^2이라고 하자. 그러면 아래와 같은 식을 얻는다.

−Θ′′Θ=ν2  ⟹  Θ′′=−ν2Θ \begin{equation} -\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{\Theta}=\nu^2 \quad \implies \quad \Theta^{\prime \prime} =-\nu^2 \Theta \quad \end{equation}

그리고 다시 (2)(2)로 돌아가 tt에 대한 식을 정리하면

T′′=−c2μ2T \begin{equation} T^{\prime \prime}=-c^2\mu^2T \end{equation}

(3)(3)과 (4)(4)를 (2)(2)에 대입한뒤 적절하게 식을 정리하면 아래와 같다.

−c2μ2Tc2T=R′′R+R′rR+−ν2Θr2Θ  ⟹  1RR′′+1rRR′+(μ2−ν2r2)=0  ⟹  r2R′′(r)+rR′(r)+(μ2r2−ν2)R(r)=0 \begin{align*} &&\dfrac{-c^2 \mu^2 T}{c^2T}=\dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\frac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{-\nu^2\Theta}{r^2\Theta} \\ \implies &&\frac{1}{R}R^{\prime \prime}+\dfrac{1}{rR}R^{\prime}+\left(\mu^2-\frac{\nu^2}{r^2}\right) =0 \\ \implies && r^2R^{\prime \prime}(r)+rR^{\prime}(r)+(\mu^2r^2-\nu^2)R(r)=0 \end{align*}

이제 μr=x\mu r=x라고 치환하자. 그리고 다음과 같이 두자.

R(r)=f(μr)=f(x),R′(r)=μf′(μr)=μf′(x),R′′(r)=μ2f′′(μr)=μ2f′′(x) R(r)=f(\mu r)=f(x),\quad R^{\prime}(r)=\mu f^{\prime}(\mu r)=\mu f^{\prime}(x),\quad R^{\prime \prime}(r)=\mu^2 f^{\prime \prime}(\mu r)=\mu^2 f^{\prime \prime}(x)

이 식들을 위에서 얻은 식에 대입하면

x2μ2μ2f′′(x)+xμμf(x)+(x2−ν2)f(x)=0  ⟹  x2f′′(x)+xf(x)+(x2−ν2)f(x)=0 \begin{align*} && \frac{x^2}{\mu^2}\mu^2f^{\prime \prime}(x) + \dfrac{x}{\mu}\mu f(x)+(x^2-\nu^2)f(x)&= 0 \\ \implies && x^2f^{\prime \prime}(x) + x f(x)+(x^2-\nu^2)f(x)&= 0 \end{align*}

위 식을 ν\nu차 베셀 방정식이라 한다. 보통 아래와 같은 꼴로 만날 수 있다.

x2y′′+xy′+(x2−ν2)y=0x(xy′)′+(x2ν2)y=0 \begin{align*} x^2 y^{\prime \prime} +xy^{\prime} +(x^2-\nu^2)y&= 0 \\ x(xy^{\prime})^{\prime}+(x^2 \nu ^2) y&= 0 \end{align*}

이 방정식의 첫번째 해는 아래와 같고 제1 종 베셀 함수라 부른다.

Jν(x)=∑n=0∞(−1)nΓ(n+1)Γ(n+ν+1)(x2)2n+ν J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n+\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n+\nu}

두번째 해는 아래와 같고 제2 종 베셀 함수라 부른다.​​

Nν(x)=Yν(x)=cos⁡(νπ)Jν(x)−J−ν(x)sin⁡(νπ) N_{\nu}(x)=Y_{\nu}(x)=\frac{\cos (\nu \pi)J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\nu\pi)}

따라서 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

y(x)=AJν(x)+BNν(x) y(x)=AJ_{\nu}(x)+BN_{\nu}(x)

이때 AA, BB는 상수이다.