位相空間とは?
定義
位相空間 1
集合$X$が与えられたとき、$\mathscr{T} \subset \mathscr{P} (X)$が$T \in \mathscr{T}$に対して次の三つの条件を満たせば、$\mathscr{T}$を$X$の位相topologyと呼び、$\left( X , \mathscr{T} \right)$を位相空間topological spaceと呼ぶ。
- (i): $$\emptyset , X \in \mathscr{T}$$
- (ii): $$\displaystyle \bigcup_{ \alpha \in \forall } T_{\alpha} \in \mathscr{T}$$
- (iii): $$\displaystyle \bigcap_{ i= 1}^{n} T_{i} \in \mathscr{T}$$
条件(i)~(iii)を改めて言葉で言い換えると以下のようになる:
- (i): $\mathscr{T}$は空集合$\emptyset$と全体集合$X$を含む。
- (ii): $\mathscr{T}$の元の和集合は$\mathscr{T}$に属する。
- (iii): $\mathscr{T}$の元の有限交叉は$\mathscr{T}$に属する。
開集合と閉集合 2
- $O \in \mathscr{T}$を開集合open setと定義する。
- $C \subset X$に対して$ X \setminus C \in \mathscr{T}$であれば、$C$を閉集合closed setと定義する。
- 開集合であると同時に閉集合であれば開かつ閉集合clopen setという。
説明
位相空間
定義上$\mathscr{T}$は$\cup$と$\cap$について閉じているので代数を思い浮かべるだろうが、このような定義だけでは代数的な性質を見つけるのは難しい。
ベクトル空間のベクトルが高校で学んだような「力と方向を持つ量」ではなく、条件を満たせばそのままベクトルになるように、位相空間の位相は単に条件を満たす部分集合の集合として一般化されたものである。
開集合と閉集合
位相を定義すると同時に開と閉もまた新たに定義される。従来の距離空間では開区間と閉区間から続く概念として直観的に定義したが、一般的な位相は集合を用いるため抽象的で奇想天外な空間を作り出すことができる。
定義を見ると、開は位相の概念を借りて完全に新しく定義されたが、閉は距離空間とほぼ同じであることがわかる。
位相と開、閉の定義に従って以下の性質を容易に確認できる。
定理
- [1-1]: $\displaystyle \bigcup_{ \alpha \in \forall } O_{\alpha} \in \mathscr{T}$は開集合である。
- [1-2]: $\displaystyle \bigcap_{ i= 1}^{n} O_{i} \in \mathscr{T}$は開集合である。
- [2-1]: $\displaystyle \bigcap_{ \alpha \in \forall } C_{\alpha} \in \mathscr{T}$は閉集合である。
- [2-2]: $\displaystyle \bigcup_{ i= 1}^{n} C_{i} \in \mathscr{T}$は閉集合である。
例
これについて以下の例を見て位相についての感覚をつかんでみよう。
$X:=\left\{ a,b,c,d \right\}$に対して$\mathscr{T} : = \left\{ \emptyset , \left\{ b \right\} , \left\{ a, b \right\} , \left\{ b,c \right\} , \left\{ a,b,c \right\} , \left\{ a,b,c,d \right\} \right\}$が$X$の位相であることを示せ。
- (i): $\emptyset \in \mathscr{T}$であり$\left\{ a,b,c,d \right\} =X \in \mathscr{T}$である。
- (ii): 全体集合$X$を除いては$d$が使われず、$\left\{ a,b,c \right\} \in \mathscr{T}$である。
- (iii): 空集合$\emptyset$を除いてはすべて$b$を共有し、$\left\{ b \right\} \in \mathscr{T}$である。
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