본 글은 독자가 고전역학 카테고리의 라그랑주 역학과 해밀턴의 변분 원리를 읽었다는 가정하에 쓰여졌다. 가능하면 중복되는 표기법, 내용이라도 본 글에서 다시 설명하겠지만 설명없이 쓰는 표기법이 있다면 링크를 참고하자.
운동 경로에 대한 라그랑지안을 적분한 것을 작용이라 하고 J로 표기한다. 위치를 y라고 두면
J=∫t1t2Ldt=∫t1t2L(y′(t),y(t),t)dt
이때 실제로 물체가 움직이는 경로에 대한 라그랑지안일 때 위의 작용이 극솟값을 갖는다는 것이 해밀턴의 원리이다.
오일러-라그랑주 방정식
작용이 극값(극대 혹은 극소)을 갖게하는 실제의 운동 경로에 대한 라그랑지안 L은 다음의 방정식을 만족한다.
∂y∂L−dtd(∂y′∂L)=0
위의 방정식을 오일러-라그랑주 방정식Euler-Lagrange 이라 한다.
설명
주의해야할 점은 역은 성립하지 않는다는 것이다. 극대, 극소에서 미분했을 때 0이지만 미분해서 0이라고 해서 극대, 극소는 아닌 것과 같다. 미분해서 0이면 변곡점일 가능성도 있다. 마찬가지로 실제 운동 경로는 오일러-라그랑주 방정식을 만족하지만, 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 모든 경로가 실제 운동 경로는 아니다.
증명
가능한 임의의 운동 경로를 y(α,t)=y(0,t)+αη(t)라고 하자. 이때 y(0,t)는 실제 운동 경로이다. 또한 모든 경로의 시점과 종점은 같으므로 η(t1)=η(t2)=0이다. 그리고 임의의 운동 경로에 대한 라그랑지안과 그에 대한 작용을 다음과 같다고 하자.
L=L(y(α,t)′,y(α,t),t)
J(α)=∫t1t2L(y(α,t)′,y(α,t),t)dt
y(α,t)는 α=0일 때 실제 운동 경로가 되고, 실제 운동 경로일 때 작용은 극값을 가지므로 α=0에서 미분하면 0이다.
∂α∂Jα=0=0
위 식은 역학 교재나 여러 곳에서 간단히 δJ=0로 나타난다.(δ=∂α∂) 실제로 위의 미분을 계산해보면 아래의 식을 얻는다.
정적분 항이 사라진 이유는 η(t1)=η(t2)=0이기 때문이다. 이를 원래 식에 대입하고 η(t)에 대해서 정리하면 다음의 식을 얻는다.
∂α∂J=∫t1t2(−dtd∂y′∂L+∂y∂L)η(t)dt
그런데 ∂α∂J의 값은 실제 운동 경로일 때(α=0 일 때)0이다. 따라서 α=0이라 하면 아래의 식을 얻는다.
∂α∂J=∫t1t2(−dtd∂y′∂L+∂y∂L)η(t)dt=0
위 식은 실제 경로에 대한 라그랑지안의 작용이고 임의의 η(t)에 대해서 항상 성립해야한다. 다시말해 어떤 η(t)에 대해서도 적분값이 0이 나와야한다. 이것이 가능하려면 곱해진 괄호안의 값이 0일 수 밖에 없다. 그러므로 실제 경로에 대한 라그랑지안은 아래의 방정식을 만족한다.