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물리학에서의 오일러-라그랑주 방정식 📂고전역학

물리학에서의 오일러-라그랑주 방정식

개요

본 글은 독자가 고전역학 카테고리의 라그랑주 역학과 해밀턴의 변분 원리를 읽었다는 가정하에 쓰여졌다. 가능하면 중복되는 표기법, 내용이라도 본 글에서 다시 설명하겠지만 설명없이 쓰는 표기법이 있다면 링크를 참고하자.

운동 경로에 대한 라그랑지안을 적분한 것을 작용이라 하고 JJ로 표기한다. 위치를 yy라고 두면

J=t1t2Ldt=t1t2L(y(t), y(t), t)dt J =\int_{t_{1}} ^{t_2} Ldt=\int_{t_{1}}^{t_2}L\big( y^{\prime}(t),\ y(t),\ t \big)dt

이때 실제로 물체가 움직이는 경로에 대한 라그랑지안일 때 위의 작용이 극솟값을 갖는다는 것이 해밀턴의 원리이다.

오일러-라그랑주 방정식

작용이 극값(극대 혹은 극소)을 갖게하는 실제의 운동 경로에 대한 라그랑지안 LL은 다음의 방정식을 만족한다.

Lyddt(Ly)=0 \dfrac{ \partial L}{\partial y}-\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \right)=0

위의 방정식을 오일러-라그랑주 방정식Euler-Lagrange 이라 한다.

설명

주의해야할 점은 역은 성립하지 않는다는 것이다. 극대, 극소에서 미분했을 때 00이지만 미분해서 00이라고 해서 극대, 극소는 아닌 것과 같다. 미분해서 00이면 변곡점일 가능성도 있다. 마찬가지로 실제 운동 경로는 오일러-라그랑주 방정식을 만족하지만, 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 모든 경로가 실제 운동 경로는 아니다.

증명

5D21C02B1.jpg

가능한 임의의 운동 경로를 y(α,t)=y(0,t)+αη(t)y(\alpha, t)=y(0,t)+\alpha\eta (t)라고 하자. 이때 y(0,t)y(0,t)는 실제 운동 경로이다. 또한 모든 경로의 시점과 종점은 같으므로 η(t1)=η(t2)=0\eta (t_{1})=\eta (t_2)=0이다. 그리고 임의의 운동 경로에 대한 라그랑지안과 그에 대한 작용을 다음과 같다고 하자.

L=L(y(α,t), y(α,t), t) L = L \big( y(\alpha, t)^{\prime},\ y(\alpha, t),\ t \big)

J(α)=t1t2L(y(α,t), y(α,t), t)dt J(\alpha) = \int_{t_{1}}^{t_2} L \big( y(\alpha, t)^{\prime},\ y(\alpha, t),\ t\big) dt

y(α,t)y(\alpha, t)α=0\alpha=0일 때 실제 운동 경로가 되고, 실제 운동 경로일 때 작용은 극값을 가지므로 α=0\alpha=0에서 미분하면 00이다.

Jαα=0=0 \dfrac{\partial J}{\partial \alpha} \bigg|_{\alpha=0}=0

위 식은 역학 교재나 여러 곳에서 간단히 δJ=0\delta J=0로 나타난다.(δ=α(\delta=\frac{\partial}{\partial \alpha}) 실제로 위의 미분을 계산해보면 아래의 식을 얻는다.

Jα=αt1t2L(y(α,t), y(α,t), t)dt=t1t2αL(y(α,t), y(α,t), t)dt=t1t2(Lyyα+Lyyα+Lttα)dt \begin{align*} \dfrac{\partial J}{\partial \alpha} &= \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \int_{t_{1}}^{t_2} L \big( y(\alpha, t)^{\prime},\ y(\alpha, t),\ t \big) dt \\ &= \int_{t_{1}}^{t_2} \dfrac{\partial}{\partial \alpha} L \big( y(\alpha, t)^{\prime},\ y(\alpha, t),\ t \big) dt \\ &= \int_{t_{1}}^{t_2} \left( \dfrac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\dfrac{\partial y^{\prime}}{\partial \alpha}+\dfrac{\partial L}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial \alpha} +\dfrac{\partial L}{\partial t}\dfrac{\partial t}{\partial \alpha} \right) dt \end{align*}

이때 yy^{\prime}{}^{\prime}tt에 대한 미분을 뜻함에 주의하라. y(α,t)=y(0,t)+αη(t)y(\alpha, t)=y(0,t)+\alpha\eta (t)이므로 y(α,t)=y(0,t)+αη(t)y^{\prime}(\alpha, t)=y^{\prime}(0,t)+\alpha\eta^{\prime}(t)이다. 따라서 다음과 같다.

yα=η(t),yα=η(t),tα=0 \dfrac{\partial y^{\prime}}{\partial \alpha}=\eta^{\prime}(t), \quad \dfrac{\partial y}{\partial \alpha}=\eta (t),\quad \dfrac{\partial t}{\partial \alpha}=0

ttα\alpha는 무관한 변수이므로 미분했을 때 00이다. 따라서 다음과 같다.

Jα=t1t2(Lyη(t)+Lyη(t))dt \dfrac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{t_{1}}^{t_2} \left( \dfrac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\eta^{\prime}(t)+\dfrac{\partial L}{\partial y}\eta (t) \right) dt

첫번째항만 부분적분으로 계산하면 그 결과는 아래와 같다.

t1t2Lyη(t)dt=Lyη(t)]t1t2t1t2ddt(Ly)η(t)dt=t1t2ddt(Ly)η(t)dt \begin{align*} \int_{t_{1}}^{t_2} \dfrac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\eta^{\prime}(t) dt &= \left. \dfrac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\eta (t) \right]_{t_{1}}^{t_2}-\int_{t_{1}}^{t_2} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right) \eta (t) dt \\ &= -\int_{t_{1}}^{t_2} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right) \eta (t) dt \end{align*}

정적분 항이 사라진 이유는 η(t1)=η(t2)=0\eta (t_{1})=\eta (t_2)=0이기 때문이다. 이를 원래 식에 대입하고 η(t)\eta (t)에 대해서 정리하면 다음의 식을 얻는다.

Jα=t1t2(ddtLy+Ly)η(t)dt \dfrac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{t_{1}}^{t_2} \left(- \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial y^{\prime}}+\dfrac{\partial L}{\partial y} \right) \eta (t)dt

그런데 Jα\dfrac{\partial J}{\partial \alpha}의 값은 실제 운동 경로일 때(α=0(\alpha=0 일 때)) 00이다. 따라서 α=0\alpha=0이라 하면 아래의 식을 얻는다.

Jα=t1t2(ddtLy+Ly)η(t)dt=0 \dfrac{\partial J}{\partial \alpha} = \int_{t_{1}}^{t_2} \left(- \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial y^{\prime}}+\dfrac{\partial L}{\partial y} \right) \eta (t)dt=0

위 식은 실제 경로에 대한 라그랑지안의 작용이고 임의의 η(t)\eta (t)에 대해서 항상 성립해야한다. 다시말해 어떤 η(t)\eta (t)에 대해서도 적분값이 00이 나와야한다. 이것이 가능하려면 곱해진 괄호안의 값이 00일 수 밖에 없다. 그러므로 실제 경로에 대한 라그랑지안은 아래의 방정식을 만족한다.

Lyddt(Ly)=0 \dfrac{ \partial L}{\partial y}-\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \right)=0

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