📂집합론

대우법의 수리논리적 증명

법칙 ¹

$$ p \to q \iff \lnot q \to \lnot p $$

설명

어떤 명제가 참이면 그 대우도 참, 어떤 명제가 거짓이면 그 대우도 거짓이다. 물론 역^converse이 성립한다면 대우법에 의해서 원래 명제의 이^reverse도 성립한다.

이러한 표현들은 수학에 익숙하지 않은 사람들에겐 너무 어려울 수 있다. 직관적인 예를 들어서 이해해보자:

• $p$ : 날씨가 덥다
• $q$ : 땀이 난다
• $p \to q$ : 날씨가 더우면 땀이 난다

날씨가 더우면 땀이 난다는 것이 참이라면, 땀이 나지 않았다면 다른 건 몰라도 날씨가 더운 게 아니라는 걸 알 수 있다.

증명

$$ \begin{align*} p \to q \iff & \lnot p \lor q \\ \iff & \lnot p \lor \lnot (\lnot q) \\ \iff & \lnot (\lnot q) \lor \lnot p \\ \iff & \lnot q \to \lnot p \end{align*} $$

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