📂수치해석

뉴턴-코테스 적분 공식

정의 ¹

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a,b]$ 에서 적분가능하고 $[a,b]$ 를 간격이 $\displaystyle h:= {{b-a} \over {n}}$ 로 일정한 $a = x_{0} < \cdots < x_{n} = b$ 와 같은 노드 포인트들로 쪼갰다고 하자. 다음과 같이 정의된 수치적 적분 오퍼레이터 $I_{n}^{p}$ 을 뉴턴-코테스 공식이라 한다. $$ I_{n}^{p} (f) := \sum_{i=0}^{n} w_{i} f ( x_{i} ) $$

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• $i=0,1,\cdots , n$ 에 대해 $x_{i} := a + i h$ 이고, $l_{i}$ 는 라그랑주 공식에서 쓰이는 다항함수 $\displaystyle l_{i} (x) := \prod_{i \ne j} \left( {{ x - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right)$ 를 의미한다.
• 가중치^weight $w_{i}$ 는 $\displaystyle w_{i} := \int_{a}^{b} l_{i} (x) dx$ 와 같이 정의되어있다.

오차

$f \in C^{n+2} [a,b]$ 라고 하면 $$ C_{n} := \begin{cases} \displaystyle {{1} \over {(n+2)! }} \int_{0}^{n} \mu^2 ( \mu - 1 ) \cdots ( \mu - n ) d \mu & , n \text{ is even} \\ \displaystyle {{1} \over {(n+1)! }} \int_{0}^{n} \mu ( \mu - 1 ) \cdots ( \mu - n ) d \mu & , n \text{ is odd} \end{cases} $$ 와 어떤 $ \xi \in [a,b]$ 에 대해 $$ E_{n}^{p} (f) = \begin{cases} C_{n} h^{n+3} f^{(n+2)} ( \xi ) & , n \text{ is even} \\ C_{n} h^{n+2} f^{(n+1)} ( \xi ) & , n \text{ is odd} \end{cases} $$

특수화

사다리꼴 룰이 $1$차 폴리노미얼 인터폴레이션을 쓰고 심슨 룰이 $2$차 폴리노미얼 인터폴레이션을 썼다면 당연히 $p$차에 대해 일반화하는 것을 고려할 것이다. 뉴턴-코테스 적분 공식은 적분을 근사할 때 그 다항함수의 차수를 올려서 만들 수 있는 모든 룰을 포함한다.

사다리꼴 룰

• (1) $p=1$: $$I^{1} (f) := h [ f(a) + f(b) ]$$

심슨 룰

• (2) $p=2$: $$I^{2} (f) := {{h} \over {3}} \left[ f(a) + 4 f \left( {{a + b} \over {2}} \right) + f(b) \right]$$

$3-8$ 룰^{three-Eights rule}

• (3) $p=3$: $$I^{3} (f) := {{3h} \over {8}} \left[ f(a) + 3 f ( a + h ) + 3 f ( b - h ) + f(b) \right]$$

불즈 룰^{boole's rule}

• (4) $p=4$: $$I^{4} (f) := {{2h} \over {45}} \left[ 7 f(a) + 32 f ( a + h ) + 12 f \left( {{a + b} \over {2}} \right) + 32 f(b - h) + 7 f(b) \right]$$