쌍대공간의 내적
📂힐베르트공간쌍대공간의 내적
도입
벡터공간 V에 대해서, (V,⟨⋅,⋅⟩V)를 힐베르트 공간이라 하자. V∗를 V의 쌍대공간이라 하자. 리즈 표현 정리에 의해 임의의 f∈V∗는 유일한 vf∈V에 대해서 다음과 같이 표현된다.
f=⟨⋅,vf⟩V;f(x)=⟨x,vf⟩V(1)
즉 f∈V∗와 vf∈V는 일대일 대응이다. V에는 이미 내적이 잘 정의되어있고, f,g∈V∗는 V에 유일하게 대응되는 원소가 있으므로, V∗의 내적을 아래와 같이 자연스럽게 정의할 수 있다.
정의
힐베르트 공간 (V,⟨⋅,⋅⟩V)의 쌍대공간 V∗의 내적을 아래와 같이 정의한다.
⟨f,g⟩V∗:=⟨vf,vg⟩V,f,g∈V∗(2)
이때 vf,vg∈V는 리즈 표현 정리에 의해 각각 f,g∈V∗에 대응되는 벡터이다.
설명
정의 (2)는 (1)에 의해 다시 다음과 같이 표현가능하다.
⟨f,g⟩V∗=⟨vf,vg⟩V=g(vf)=f(vg)
내적이 주어지면 이로부터 자연스럽게 놈이 정의된다. 쌍대공간 V∗의 놈은 다음과 같다.
∥f∥V∗=⟨f,f⟩V∗=⟨vf,vf⟩V=∥vf∥V