📂힐베르트공간

쌍대공간의 내적

도입

벡터공간 $V$에 대해서, $(V, \braket{\cdot, \cdot}_{V})$를 힐베르트 공간이라 하자. $V^{\ast}$를 $V$의 쌍대공간이라 하자. 리즈 표현 정리에 의해 임의의 $f \in V^{\ast}$는 유일한 $\mathbf{v}_{f} \in V$에 대해서 다음과 같이 표현된다.

$$ f = \braket{\cdot, \mathbf{v}_{f}}_{V}; \quad f(\mathbf{x}) = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{v}_{f}}_{V} \tag{1} $$

즉 $f \in V^{\ast}$와 $\mathbf{v}_{f} \in V$는 일대일 대응이다. $V$에는 이미 내적이 잘 정의되어있고, $f, g \in V^{\ast}$는 $V$에 유일하게 대응되는 원소가 있으므로, $V^{\ast}$의 내적을 아래와 같이 자연스럽게 정의할 수 있다.

정의

힐베르트 공간 $(V, \braket{\cdot, \cdot}_{V})$의 쌍대공간 $V^{\ast}$의 내적을 아래와 같이 정의한다.

$$ \braket{f, g}_{V^{\ast}} := \braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g}}_{V} , \qquad f, g \in V^{\ast} \tag{2} $$

이때 $\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g} \in V$는 리즈 표현 정리에 의해 각각 $f, g \in V^{\ast}$에 대응되는 벡터이다.

설명

정의 $(2)$는 $(1)$에 의해 다시 다음과 같이 표현가능하다.

$$ \braket{f, g}_{V^{\ast}} = \braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g}}_{V} = g(\mathbf{v}_{f}) = \overline{f(\mathbf{v}_{g})} $$

내적이 주어지면 이로부터 자연스럽게 놈이 정의된다. 쌍대공간 $V^{\ast}$의 놈은 다음과 같다.

$$ \| f \|_{V^{\ast}} = \sqrt{\braket{f, f}_{V^{\ast}}} = \sqrt{\braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{f}}_{V}} = \| \mathbf{v}_{f} \|_{V} $$