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쌍대공간의 내적 📂힐베르트공간

쌍대공간의 내적

도입

벡터공간 VV에 대해서, (V,,V)(V, \braket{\cdot, \cdot}_{V})힐베르트 공간이라 하자. VV^{\ast}VV쌍대공간이라 하자. 리즈 표현 정리에 의해 임의의 fVf \in V^{\ast}는 유일한 vfV\mathbf{v}_{f} \in V에 대해서 다음과 같이 표현된다.

f=,vfV;f(x)=x,vfV(1) f = \braket{\cdot, \mathbf{v}_{f}}_{V}; \quad f(\mathbf{x}) = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{v}_{f}}_{V} \tag{1}

fVf \in V^{\ast}vfV\mathbf{v}_{f} \in V일대일 대응이다. VV에는 이미 내적이 잘 정의되어있고, f,gVf, g \in V^{\ast}VV에 유일하게 대응되는 원소가 있으므로, VV^{\ast}내적을 아래와 같이 자연스럽게 정의할 수 있다.

정의

힐베르트 공간 (V,,V)(V, \braket{\cdot, \cdot}_{V})의 쌍대공간 VV^{\ast}의 내적을 아래와 같이 정의한다.

f,gV:=vf,vgV,f,gV(2) \braket{f, g}_{V^{\ast}} := \braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g}}_{V} , \qquad f, g \in V^{\ast} \tag{2}

이때 vf,vgV\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g} \in V는 리즈 표현 정리에 의해 각각 f,gVf, g \in V^{\ast}에 대응되는 벡터이다.

설명

정의 (2)(2)(1)(1)에 의해 다시 다음과 같이 표현가능하다.

f,gV=vf,vgV=g(vf)=f(vg) \braket{f, g}_{V^{\ast}} = \braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g}}_{V} = g(\mathbf{v}_{f}) = \overline{f(\mathbf{v}_{g})}

내적이 주어지면 이로부터 자연스럽게 놈이 정의된다. 쌍대공간 VV^{\ast}은 다음과 같다.

fV=f,fV=vf,vfV=vfV \| f \|_{V^{\ast}} = \sqrt{\braket{f, f}_{V^{\ast}}} = \sqrt{\braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{f}}_{V}} = \| \mathbf{v}_{f} \|_{V}