📂푸리에해석

함수의 푸리에 급수가 함수로 절대수렴 균등수렴할 충분 조건

정리¹

$[L, -L)$에서 정의된 함수 $f$가 연속이고, 조각마다 매끄럽다 고 하자. 그러면 $f$의 푸리에 급수는 $f$로 절대수렴, 균등수렴한다.

설명

$f$가 조각마다 매끄러우면 $f$의 푸리에 급수가 $f$에 점마다 수렴한다. 여기에 $f$가 연속이라는 조건까지 추가하면 (즉 불연속점이 없으면), $f$의 푸리에 급수는 $f$로 절대수렴, 균등수렴한다. 증명에는 코시-슈바르츠 부등식 과 바이어슈트라스 M- 정법 이 사용된다.

바이어슈트라스 M-판정법

함수 $f_{n}$ 와 $z \in A$ 에 대해 $|f_{n}(z)| \le M_{n}$ 을 만족하는 양수의 수열 $M_{n}$ 이 존재하고 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 이 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)$ 은 절대수렴하고 $A$에서 균등수렴한다.

증명

전략: $f$의 푸리에 급수는 $\sum c_{n}e^{i\frac{n\pi t}{L}}$이므로 이보다 크거나 같은 어떤 $a_{n}$에 대해서 $a_{n} < \infty$인 것을 보일 것이다.

$f$의 푸리에 계수와 도함수의 푸리에 계수의 관계에 의해

$$c_{n}=\frac{L}{in\pi}c_{n^{\prime}} \quad n\ne 0 \\ \implies |c_{n}|=|\frac{L}{n\pi} c_{n^{\prime}}|$$

그리고 베셀 부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$\begin{equation} \sum \limits_{n= -\infty}^{\infty} |c_{n^{\prime}}| \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}|f^{\prime}(t)|^2dt < \infty \label{eq1} \end{equation}$$

이제 $\sum |c_{n}|$을 $c_{n^{\prime}}$으로 나타내면

$$\begin{align*} \sum \limits_{n= -\infty}^{\infty} |c_{n}| &= |c_{0}| + \sum _{n \ne 0} |c_{n}| \\ &= |c_{0}| + \sum _{n \ne 0} \left| \dfrac{L}{n\pi}c_{n^{\prime}} \right| \\ & \le |c_{0}| + \left( \sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{L^2}{n^2 \pi ^2} \right)^\frac{1}{2} \left( \sum \limits_{n \ne 0} |c_{n^{\prime}}|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\ &=|c_{0}| + \left( \dfrac{L^2}{\pi ^2}\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{1}{n^2 } \right)^\frac{1}{2} \left( \sum \limits_{n \ne 0} |c_{n^{\prime}}|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{align*}$$

두번째줄은 코시-슈바르츠 부등식에 의해 성립한다. $\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} <\infty$, 식 $(1)$을 이용하면 마지막줄은

$$|c_{0}| + \left( \dfrac{L^2}{\pi ^2}\sum \limits_{n \ne 0} \dfrac{1}{n^2 } \right)^\frac{1}{2} \left( \sum \limits_{n \ne 0} |c_{n^{\prime}}|^2 \right)^{\frac{1}{2}} < \infty$$

따라서 바이어슈트라스 M-판정법에 의해 $\sum \limits_{-\infty}^{\infty}c_{n}$은 $f$로 절대수렴, 균등수렴한다.

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