라그랑주 공식 유도
📂수치해석라그랑주 공식 유도
공식
서로 다른 x0,⋯,xn 의 데이터 (x0,y0),⋯,(xn,yn) 에 대해 li(x):=i=j∏(xi−xjx−xj) 이라고 하면
pn(x)=i=0∑nyili(X)
설명
라그랑주 공식은 폴리노미얼 인터폴레이션을 찾는 방법 중 가장 심플한 공식이다.
유도
전략: li 이 인덱스에 대해 크로데커 델타 함수임을 보인다.
li(xi)=i=j∏(xi−xjxi−xj)=1
li(xj)=i=j∏(xi−xjxj−xj)=0
정리하면 li(xj)=δij 이다.
pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+⋯ynln(X)
이라고 두면 모든 i=0,1,⋯,n 에 대해
pn(xi)=0+⋯+yi⋅1+⋯+0=yi
이 성립한다.
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