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라그랑주 공식 유도 📂수치해석

라그랑주 공식 유도

공식 1

서로 다른 x0,,xnx_{0} , \cdots , x_{n} 의 데이터 (x0,y0),,(xn,yn)(x_{0}, y_{0}) , \cdots , (x_{n} , y_{n}) 에 대해 li(x):=ij(xxjxixj)\displaystyle l_{i} (x) := \prod_{i \ne j} \left( {{ x - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right) 이라고 하면 pn(x)=i=0nyili(X) p_{n} (x) = \sum_{i=0}^{n} y_{i} l_{i} (X)

설명

라그랑주 공식은 폴리노미얼 인터폴레이션을 찾는 방법 중 가장 심플한 공식이다.

유도

전략: lil_{i} 이 인덱스에 대해 크로데커 델타 함수임을 보인다.


li(xi)=ij(xixjxixj)=1 l_{i} (x_{i}) = \prod_{i \ne j} \left( {{ x_{i} - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right) = 1

li(xj)=ij(xjxjxixj)=0 l_{i} (x_{j}) = \prod_{i \ne j} \left( {{ x_{j} - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right) = 0 정리하면 li(xj)=δijl_{i}(x_{j}) = \delta_{ij} 이다. pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(X) p_{n}(x) = y_{0} l_{0}(x) + y_{1} l_{1}(x) + \cdots y_{n} l_{n}(X) 이라고 두면 모든 i=0,1,,ni=0,1, \cdots , n 에 대해 pn(xi)=0++yi1++0=yi p_{n}(x_{i}) =0 + \cdots + y_{i} \cdot 1 + \cdots + 0 = y_{i} 이 성립한다.


  1. Atkinson. (1989). An Introduction to Numerical Analysis(2nd Edition): p134. ↩︎