측도론
측도론과 확률론 요약: 기초적인 정의와 개념들을 하나의 글에 정리해놓았다.
실수 $\mathbb{R}$ 에서 정의되는 측도
- 영집합
- 외측도 $m^{\ast}$
- 시그마 대수와 가측 공간 $(X, \mathcal{E})$
- 르벡 측도 $m$
- 보렐 집합
- 르벡 가측 함수
- 측도론에서의 거의 어디서나와 거의 확실히
- 임의의 함수를 두개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법
- 임의의 함수의 절대값을 두 개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법
적분
일반적인 측도
- 대수, 준측도
- 측도의 일반적인 정의
- 가측 함수
- 보렐 $\sigma$-대수, 보렐 가측 공간
- 확장된 실수값을 갖는 함수가 가측함수가 될 필요충분조건
- 카라테오도리 정리
- 측도의 절대 연속
- 라돈-니코딤 도함수
- 라돈-니코딤 정리
- 균등적분가능성
- 측도 수렴
- 비탈리 수렴 정리
- 파이 시스템과 람다 시스템
- 딘킨의 파이-람다 정리
- 측도의 약한 수렴
부호 측도와 미분
- 부호 측도
- 양집합, 음집합, 영집합
- 한 분해 정리
- 뮤츄얼리 싱귤러
- 조던 분해 정리
- 토탈 배리에이션
- 부호 측도의 절대 연속
- 르벡-라돈-니코딤 보조 정리
- 절대 연속과 적분 가능한 함수의 관계
- 복소 측도, 벡터 측도
- 맥시멀 보조정리
- 하디-리틀우드 맥시멀 함수
- 맥시멀 정리
- 국소 적분가능한 함수의 평균값은 중심의 함숫값으로 수렴한다
주요 참고문헌
- Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995)
- Capinski, Measure, Integral and Probability (1999)
- Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999)
전체 포스트
- 영집합
- 외측도
- 시그마 대수와 가측 공간
- 르벡 측도
- 보렐 집합
- 르벡 가측 함수
- 측도론에서의 거의 어디서나와 거의 확실히
- 르벡 적분
- 파투의 보조정리 증명
- 단조 수렴 정리 증명
- 르벡 적분가능
- 지배 수렴 정리 증명
- 측도론에서의 레비의 정리 증명
- 리만적분의 일반화로써의 르벡적분
- 카라테오도리 정리 증명
- 가측 함수
- 실수값을 갖는 가측 함수의 성질
- 임의의 함수를 두개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법
- 보렐 시그마-대수, 보렐 가측 공간
- 확장된 실수값을 갖는 함수가 가측함수가 될 필요충분조건
- 측도의 일반적인 정의
- 부호가 붙은 측도
- 양집합, 음집합, 영집합
- 한 분해 정리
- 뮤츄얼리 싱귤러
- 조던 분해 정리
- 가측 공간의 파티션과 리파인먼트
- 측도의 절대 연속
- 시그마 유한 측도
- 라돈-니코딤 도함수
- 라돈-니코딤 정리 증명
- 토탈 배리에이션
- 부호 측도의 절대 연속
- 르벡-라돈-니코딤 보조 정리
- 절대 연속과 적분 가능한 함수의 관계
- 임의의 함수의 절대값을 두 개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법
- 대수, 준측도
- 복소 측도, 벡터 측도
- 맥시멀 보조정리
- 하디-리틀우드 맥시멀 함수
- 국소 적분가능한 함수의 평균값은 중심의 함숫값으로 수렴한다
- 맥시멀 정리
- 균등적분가능성
- 측도 수렴
- 비탈리 수렴 정리
- 파이 시스템과 람다 시스템
- 딘킨의 파이-람다 정리
- 측도의 약한 수렴
- 정칙 측도
- 예고로프 정리
- 루신의 정리
- 가측함수로 수렴하는 단순함수열의 존재성
- 실함수의 절대연속