추상대수
대수학Algebra은 널리 알려져있듯 현실 속 문제를 해결하기 위해 필요하던 실용적인 기술이었다. 현대 수학에서는 순수수학의 큰 갈래 중 하나로, 지금도 암호론이나 위상데이터분석과 같은 실용적인 분야에도 응용되고 있다. 보통의 수학도라면 대수를 모른다고 다른 공부를 전혀 할 수 없는 정도는 아니지만, 대수를 알았다면 고민할 필요도 없어지는 문제나 개념이 생각보다 많다. 대수학이 적성에 맞든 안 맞든 수학계의 당연한 상식을 모아놓은 것 같은 과목이니 팩트 중심으로라도 공부해두는 것을 강하게 추천한다.
이항연산구조
군론
순환군
대칭군
몫군
리 군
- 리 군
- 일반선형군 $\mathrm{GL}(n)$
- 특수선형군 $\mathrm{SL}(n)$
- 직교군 $\mathrm{O}(n)$
- 유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$
- 특수 유니터리 군 $\mathrm{SU}(n)$
그룹 액션
동형 정리
환론
다항식
아이디얼
- 부분환의 정의와 부분환 판정법
- 아이디얼 $I$
- 극대 아이디얼 $M$
- 소 아이디얼 $P$
- 주 아이디얼 $\left< a \right>$
- 래디컬과 닐래디컬 $\text{rad}$, $\text{nil}$
정역
모듈
대수적 미분
- 분수환과 분수체
- 미분환 $\left( R, d \right)$
- 미분체 $\left( F, \partial \right)$
- 상미분환과 편미분환 $\left( R , \Delta \right)$
체론
- 체 $F$
- 확대체와 크로네커 정리 $F \le E$
- 단순확대체 $E = F \left( \alpha \right)$
- 추상대수학에서의 벡터 공간
- 대수적 확대체
- 추상대수의 용어로 표현된 대수학의 기본정리
- 소체 $\mathbb{Z}_{p}$, $\mathbb{Q}$
- 켤레 동형사상 정리
- 체의 자기동형사상 $\text{Auto}$
3대 작도불능문제
갈루아 이론
- 최소분열체
- 가분확대체
- 갈루아체 $\text{GF} \left( p^{n} \right)$
- 갈루아 이론
- 2차 방정식의 근의 공식 유도 무작정 따라하기
- 3차 방정식의 근의 공식
- 2차/3차/n차 방정식의 근과 계수의 관계
주요 참고문헌
- Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition)
- Sze-Tsen Hu. (1968). Introduction to Homological Algebra
- Hatcer. (2002). Algebraic Topology
전체 포스트
- 이원수
- 이원수 환 위에서 정의되는 미분가능한 실함수
- 근의 공식 유도 무작정 따라하기
- 추상대수학에서의 이항연산
- 추상대수학에서의 반군
- 추상대수학에서 항등원과 모노이드
- 군에서의 항등원과 역원의 유일성 증명
- 좌우간약율 증명
- 추상대수학에서의 군
- 추상대수학에서의 가환군
- 추상대수학에서의 순환군
- 모든 순환군은 가환군임을 증명
- 순환군의 부분군은 순환군임을 증명
- 추상대수학에서의 동형
- 모든 순환군은 정수군과 동형임을 증명
- 추상대수학에서의 대칭군
- 추상대수학에서의 정이면체군
- 추상대수학에서의 여러 사상들
- 클라인 사원군
- 케일리의 정리 증명
- 추상대수학에서의 궤도, 순환, 전위
- 짝이면서 홀인 순열은 존재하지 않음을 증명
- 추상대수학에서의 교대군
- 추상대수학에서의 잉여류와 정규부분군
- 양말-신발 성질: ab의 역원은 b의 역원과 a의 역원의 곱과 같다
- 부분군의 정의와 부분군 판정법
- 라그랑주의 정리 증명
- 군의 데카르트 곱
- 추상대수학에서의 핵, 커널
- 추상대수학에서의 몫군
- 군의 작용
- 등방부분군
- 번사이드 공식 유도
- 제1동형 정리 증명
- 제2동형 정리 증명
- 제3동형 정리 증명
- 추상대수학에서의 p-군
- 군론에서의 코시 정리 증명
- 쉴로브 정리
- 잉여류의 성질과 그 증명
- 부분환의 정의와 부분환 판정법
- 추상대수학에서의 환
- 환에서 곱셈에 대한 규칙
- 추상대수학에서의 체
- 불리언 링
- 영인자와 정역
- 환의 영인자가 멱등원이면 직합으로 나타낼 수 있다
- 다항함수의 환
- 다항함수의 영
- 나눗셈 정리 증명
- 인수 정리 증명
- 다항함수의 기약원
- 아이젠슈타인 판정법
- 추상대수학에서의 아이디얼
- 추상대수학에서의 래디컬과 닐래디컬
- 단원을 가지는 아이디얼
- 극대 아이디얼
- 소 아이디얼
- 주 아이디얼
- 확대체의 정의와 크로네커 정리 증명
- 대수적 수와 초월수
- 단순확대체
- 실수체로 복소수체를 만들어내는 대수적인 방법
- 추상대수학에서의 벡터 공간
- 대수적 확대체
- 추상대수의 용어로 표현된 대수학의 기본정리
- 작도가능수
- 3대 작도 불능 문제 증명
- 소체
- 뇌터 환
- 주 아이디얼 정역
- 유일 인수분해 정역
- 유클리드 정역
- 켤레 동형사상 정리 증명
- 체의 자기동형사상
- 최소분열체
- 가분확대체
- 갈루아체
- 갈루아 이론
- 인티그럴 도메인의 놈
- 2차/3차/n차 방정식의 근과 계수의 관계
- 3차 방정식의 근의 공식
- 군론에서 교환자란?
- 환론에서 교환자란?
- 이항연산의 야코비 항등식
- 추상대수학에서의 R-모듈
- 리(Lie) 군
- 추상대수학에서의 F-벡터스페이스
- 제로멀피즘
- 베주 정역
- 일반선형군
- 유니터리 군
- 특수선형군
- 직교군
- 특수 유니터리 군
- 등급 모듈의 정의
- 분수환과 분수체
- 추상대수에서의 미분환
- 추상대수에서의 미분체
- 상미분환과 편미분환