ガンマ関数
定義
次のように定義された関数 $\Gamma : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ をガンマ関数と言う。 $$ \Gamma (x) := \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt $$
説明
上の式において積分に焦点を置くと、オイラー積分とも呼ばれる。ガンマ関数は、純粋数学だけでなく物理学、統計学などでも非常に重要な関数として有名である。非常に多くの興味深い性質を持っているが、最も代表的なのは階乗を実数に対して一般化する概念である点である。
定理
階乗の一般化としてのガンマ関数
自然数 $n \in \mathbb{N}$ に対して $\Gamma (n) = (n-1)!$ が成り立つ。
証明
戦略：ガンマ関数が階乗の形で表されることだけを示せば、一般化に関しては十分である。
ガンマ関数の定義により $$ \Gamma (n) = \int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} dt $$
Case 1. $n=1$ $$ \Gamma (1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = 1 $$ これは、$0! = 1$ と同じ意味で受け取ることができる。
Case 2. $n>1$
部分積分法により $$ \begin{align*} \Gamma (n) =& \int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} dt \\ =& \left[ -t^{n-1} e^{-t} \right] _{0} ^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -(n-1)t^{n-2} e^{-t} dt \\ =& (n-1) \int_{0}^{\infty} t^{n-2} e^{-t} dt \\ =& (n-1) \Gamma (n-1) \end{align*} $$
両方のケースをまとめると $$ \begin{align*} \Gamma (n) =& (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2\cdot\Gamma (2) \\ =& (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2\cdot 1\cdot \Gamma (1) \\ =& (n-1)! \end{align*} $$
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