ディリクレ核
定義
ディリクレカーネルDirichlet kernel $D_{n}$は次のように定義される。
$$ \begin{equation} D_{n}(t) := \dfrac{1}{2}+\sum \limits_{k=1}^{n} \cos kt \end{equation} $$
説明
ディリクレカーネルは、デルタ関数、指数関数等と関連しており、フーリエ解析に登場する。関連するいくつかの定理と証明を紹介する。
定理1
ディリクレカーネルは下の式を満たす。
$$ D_{n}(t)=\dfrac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right) t}{2\sin \frac{1}{2}t} $$
証明
コサイン関数を複素指数関数形で表現すると次のようになる。
$$ \begin{align*} D_{n}(t) =&\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sum \limits_{k=1}^n( e^{ikt}+e^{-ikt} ) \\ =&\ \dfrac{1}{2} \left[ 1+\sum \limits_{k=1}^{n} (e^{ikt}+e^{-ikt} ) \right] \\ =&\ \dfrac{1}{2} \sum \limits_{k=-n}^{n} e^{ikt} \end{align*} $$
この場合、
$$ \sum_{k=1}^{n} a_{k}= \dfrac{a (r^{n} -1) }{ r-1 } $$
を使用すると、初項が$a_{1}=e^{-int}$で、公比が$r=e^{it}$なので、次のように整理することができる。
$$ \begin{align*} D_{n}(t) =&\ \dfrac{1}{2} \sum \limits_{k=-n}^{n} e^{ikt} = \dfrac{1}{2} \sum \limits_{k=1}^{2n+1} e^{i(k-n-1)t} \\ =&\ \dfrac{1}{2} \dfrac{ ( e^{-int} ) \left( e^{i(2n+1)t -1} \right) }{e^{it}-1} \\ =&\ \dfrac{1}{2}e^{-int}\dfrac{e^{i(n+\frac{1}{2}) t }-e^{-i(n+\frac{1}{2})t} }{e^{i\frac{1}{2}t}-e^{-i\frac{1}{2}t }} \dfrac{e^{i(n+\frac{1}{2})t}} {e^{i\frac{1}{2}t}} \\ =&\ \dfrac{1}{2}\dfrac{e^{i(n+\frac{1}{2}) t }-e^{-i(n+\frac{1}{2})t} }{e^{i\frac{1}{2}t}-e^{-i\frac{1}{2}t }} \dfrac{e^{i(n+\frac{1}{2})t}} {e^{i(n+\frac{1}{2})t}} \\ =&\ \dfrac{1}{2}\dfrac{\sin (n+\frac{1}{2})t} {\sin \frac{1}{2} t} \end{align*} $$
最後の等号では$\sin x = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$を利用した。
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定理2
以下の式を$2L$-周期関数 $f(t)$のフーリエ級数の部分和とする。
$$ \begin{equation} S_{N} ^{f} (t)=\dfrac{1}{2}a_{0}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n}\cos\dfrac{n\pi t}{L}+b_{n}\sin\frac{n\pi t}{L} \right) \end{equation} $$
すると、部分和 $S_{N}^{f}(t)$を以下のようなディリクレカーネルを含む積分で表すことができる。
$$ S_{N}^{f} (t)=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)D_{n}\left(\dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx $$
証明
フーリエ係数 $a_{0}$、$a_{n}$、$b_{n}$を求めると次のようになる。
$$ \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x) dx \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L} dx \\ b_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{L} dx \end{align*} $$
すると、以下の式を得る。
$$ \begin{align*} & a_{n} \cos\dfrac{n\pi t}{L} + b_{n} \sin\dfrac{n\pi t}{L} \\ =&\ \left( \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L} dx \right) \cos\dfrac{n\pi t}{L} + \left( \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{L} dx \right)\sin\dfrac{n\pi t}{L} \\ =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x) \left[ \cos\dfrac{n\pi x}{L} \cos\dfrac{n\pi t}{L} + \sin\dfrac{n\pi x}{L} \sin\dfrac{n\pi t}{L} \right] dx \end{align*} $$
すると、三角関数の和差公式により、以下の式を得る。
$$ a_{n}\cos\dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\cos\dfrac{n\pi t}{L} = \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x) \left[ \cos\dfrac{n\pi (x-t)}{L} \right] dx $$
これを$(2)$に代入すると、以下のようになる。
$$ \begin{align*} S_{N} ^{f} (t) =&\ \dfrac{1}{2}a_{0}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n}\cos\dfrac{n\pi t}{L}+b_{n}\sin\frac{n\pi t}{L} \right) \\ =&\ \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)dx+\sum\limits_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x) \left[ \cos\dfrac{n\pi (x-t)}{L} \right] dx \right) \\ =&\ \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \left[ \dfrac{1}{2} + \sum\limits_{n=1}^{N} \cos \dfrac{n\pi (x-t)}{L}\right]dx \\ =&\ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)D_{n}\left(\dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx \end{align*} $$
最後の等号ではディリクレカーネルの定義を使用した。
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定理3
任意の整数 $n \in \mathbb{Z}$に対して、以下の式が成り立つ。
$$ \begin{equation} \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}D_{n}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx=1 \end{equation} $$
証明
$\dfrac{\pi (x-t)}{L}=y$と置換する。すると、$(3)$の左辺は次のようになる。
$$ \begin{align*} &\dfrac{1}{L}\int_{-\pi -\frac{\pi}{L}t}^{\pi-\frac{\pi}{L}t} D_{n}(y) \dfrac{L}{\pi}dy \\ =&\ \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi -\frac{\pi}{L}t}^{\pi-\frac{\pi}{L}t} \left( \dfrac{1}{2} + \sum \limits_{n=1}^{N} \cos ny \right) dy & \text{ by } (1) \\ =&\ \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi -\frac{\pi}{L}t}^{\pi-\frac{\pi}{L}t} dy+ \sum \limits_{n=1}^{N} \int_{-\pi -\frac{\pi}{L}t}^{\pi-\frac{\pi}{L}t} \cos ny dy \\ =&\ \dfrac{1}{2\pi} 2\pi + \sum \limits_{n=1}^{N} \int_{-\pi -\frac{\pi}{L}t}^{\pi-\frac{\pi}{L}t} \cos ny dy \\ =&\ 1 \end{align*} $$
この時、二番目の項の積分が$0$になる理由は、$\cos 0y=1$と$\cos ny (n\ne 0)$が互いに直交しているからである。
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