📂ルベーグ空間

直交関数と直交集合

定義

内積

間隔 $[a,b]$で定義された二つの関数 $f$、$g$の内積を次のように定義する。

$$\braket{f , g} := \int_{a}^b f(x) g(x) dx$$

$f, g$が複素関数の場合は、

$$\braket{f, g} := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} dx$$

この時、$\overline{z}$は$z$の共役複素数である。

直交関数

二つの複素関数 $f$、$g$が下の式を満たすなら、「$f$、$g$は間隔 $[a,b]$で直交する」と言う。

$$\braket{f, g} = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} dx = 0$$

ここで二つの関数の内積を積分で定義したから、積分値が $0$になる時直交するというのは自然である。

直交集合

関数 $\phi_{1}$、$\phi_2$、$\phi_{3}$、$\dots$が次の式を満たすなら、これらの関数の集合 $\left\{\phi_{i}\right\}$を「直交集合」と言う。

$$\braket{\phi_{m}, \phi_{n}} = \int_{a}^b \phi_{m} (x) \overline{ \phi_{n}(x) } dx = 0 \quad (m\ne n)$$

正規化

関数 $f$のノルムを次のように定義する。

$$\left\| f \right\| := \sqrt{\braket{f, f}} = \left( \int_{a}^b \left| f(x) \right| ^2 dx \right) ^{ \frac{1}{2} }$$

任意の関数 $f$について、適切な定数を乗じて$f$のノルムが $1$になるようにすることを「正規化」と言う。関数 $f$を正規化した関数 $f_{\text{normal}}$は、

$$f_{\mathrm{normal}} = \frac{1}{ \left\| f \right\| }f$$

正規直交集合

直交集合 $\left\{ \phi_{1}, \phi_{2}, \cdots \right\}$の全ての元が正規化された関数である場合、その集合を「正規直交集合」と言う。つまり、全ての $n, m$に対して次を満たす場合は正規直交集合である。

$$\braket{\phi_{m}, \phi_{n}} = \int_{a}^b \phi_{m} (x) \overline{ \phi_{n}(x) } dx=\delta_{mn}$$

ここで、$\delta_{mn}$はクロネッカーのデルタである。

例えば、3次元デカルト座標系で $\left\{ \hat{\mathbf{x}},\ \hat{\mathbf{y}},\ \hat{\mathbf{z}} \right\}$は正規直交集合である。