📂複素解析

ド・モアブルの定理の証明

定理

$z = r \text{cis} \theta$ ならば、全ての自然数 $n$ に対して $z^n = r^n \text{cis} n\theta$ が成り立つ。

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• $\text{cis} \theta: = \cos \theta + i \sin \theta$

証明

数学的帰納法を使おう。

$n=1$ に対しては自明で、$n=k$に対しても成り立つと仮定すると、 $$z^{k+1} = z z^k = (r \text{cis} \theta)(r^k \text{cis} k\theta)$$ その一方で、 $z_1 z_2 = r_1 r_2 \text{cis} (\theta_1 + \theta_2)$ であるから、 $$z^{k+1} = r^{k+1} \text{cis} (k+1)\theta$$

$n=k$ の時 $n=k+1$ に対しても成り立つので、与えられた式は全ての自然数に対して成り立つ。

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