📂抽象代数

スケーラブルな分割可能体

定義 ¹

$E$を$F$の拡張体とする。

1. $E$から部分体$\overline{F}$への同型写像の中で、定まった$F$を保つ同型写像の数を$F$上での$E$の指数^indexと言い、$\left\{ E : F \right\}$と示される。
2. $E$が有限体である場合、$\left\{ E : F \right\} = [ E : F ]$ならば$E$を**$F$の分離拡張体**という。
3. $f ( \alpha )$が$F$の分離拡張体であれば、$\alpha \in \overline{F}$が$F$上で分離するという。
4. $f(x)$の全ての零が$F$上で分離するならば、既約元$f(x) \in F [ x ]$が**$F$上で分離**するという。
5. $K$が$F$の有限拡大であり、$F$上での最小分解体であるならば、$K$を$F$の有限正規拡張体という。

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• $[ E : F ]$は次数を意味する。
• $G(E / F)$は$F$上の$E$の群を意味する。

説明

指数の例として、$\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} )$を考えると、自己同型写像 $$I, \psi_{\sqrt{2} , -\sqrt{2}}, \psi_{\sqrt{3} , -\sqrt{3}}, \left( \psi_{\sqrt{2} , -\sqrt{2}} \psi_{\sqrt{3} , -\sqrt{3}} \right)$$ は定まった$\mathbb{Q}$を保つので、結果として$\left\{ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) : \mathbb{Q} \right\} = 4$となる。

分離拡張体が別に定義される理由は、一般的に$\left\{ E : F \right\} \mid [ E : F ]$は成り立つが、常に同じとは限らないからである。