📂古典力学

放物線運動：水平到達距離と最大高さ角

定義^{1 2}

角度$\alpha$、初速度$v_{0}$で打ち出された物体の運動を放物線運動と言う。

説明

投射体運動とも言う。

通常、空気抵抗などの外力は無視されるため、水平方向では等速運動であり、垂直方向では自由落下運動である。

分析

$x$方向（水平方向）の運動は重力加速度と無関係であり、$y$方向（垂直方向）の運動は重力加速度の影響を受ける。

$$\begin{align*} x &= (v_o\cos\alpha)t && & y &= -\frac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t \\ v_{x} &= v_{0}\cos\alpha && & v_{y} &= -gt+v_{0}\sin\alpha \\ a_{x} &= 0 && & a_{y} &= -g \\ F_{x} &= 0 && & F_{y} &= -mg \end{align*}$$

垂直、水平方向の位置に関する二つの式を取り上げよう。

$$\begin{align} x &= (v_{0}\cos\alpha)t \\ y &= -\frac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t \end{align}$$

共通して含まれる$t$について整理すると、$x, y, \alpha$のみで構成された式を得る。つまり、放物線運動の水平距離、垂直高さに関する情報を角度によって知ることができる。$(1)$を$t$について整理すると$t=\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}$であり、$(2)$に代入して$x$に関する二次式として整理すると、

$$\begin{align} y &= -\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right)^{2}+(v_{0}\sin\alpha)\left(\frac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right) \nonumber \\ &= -\frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos^{2}\alpha}x^{2}+\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)x \nonumber \\ &= -\frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos^{2}\alpha}\left(x^{2}-\frac{2{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}x\right) \\ &= -\frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos^{2}\alpha}\left(x^{2}-\frac{2{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}x+\frac{{v_{0}}^4\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha}{g^{2}}\right) +\frac{{v_{0}}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g} \nonumber \\ &= -\frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos ^{2}\alpha}\left(x-\frac{{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}\right)^{2} +\frac{{v_{0}}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g} \nonumber \end{align}$$

最大高さ

上の式から、放物線運動グラフの頂点が$\left(\dfrac{{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}, \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g} \right)$であることが容易にわかる。したがって、発射角度$\alpha$と初速度$v_{0}$に基づいた最大高さは、

$$y = \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$$

最大高さの角度が(？)の場合は、$\alpha = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$の時に、

$$y = \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}$$

水平到達距離

放物線運動グラフの$0$ではない根が水平到達距離である。$(3)$の式を見ると、

$$\frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos^{2}\alpha}\left(x^{2}-\frac{2{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}x\right) = \frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos^{2}\alpha} x \left(x-\frac{2{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}\right)$$

したがって、水平到達距離は次のようになる。

$$\begin{equation} x = \dfrac{2{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g} = \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin2\alpha}{g} \end{equation}$$

ここで、$x$と$y$について整理した二つの式を取り上げよう。両方の式には共通して時間$t$が入っている。私たちの質問は時間に関するものではない。つまり、一方の式を$t$について整理して他方に代入すると、前に興味を持っていた質問に対する答えを得ることができるだろう。

滞空時間

到達距離を$R = \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin2\alpha}{g}$とすれば、

$$t = \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin2\alpha}{g v_{0}\cos\alpha} = \dfrac{R}{v_{0}\cos\alpha}$$

垂直運動

$\alpha = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$の場合は、垂直方向に運動する物体を記述する。

• 水平到達距離: $x = \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin \pi}{g} = 0$

• 垂直高さ: $y = \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}$

• 滞空時間: $t = \dfrac{v_{0}}{g}$

また、最大高さから落下する物体は自由落下運動をする。