クロネッカーのデルタ
定義
次のように定義される$\delta_{ij}$をクロネッカーのデルタKronecker deltaと呼ぶ。
$$ \delta_{ij} := \begin{cases} 1,&i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases} $$
説明
クロネッカーのデルタは非常に多くの場面で使用され、主な役割はすべての成分（要素、可能性など）の中から望むものだけを示すことである。物理学の学生なら内積に関する表現として主に接することになる。これが何を意味するのか理解しにくいかもしれないので、下の例を見ながら理解してみよう。
例
まず、2つのベクトル$\mathbf{A}=(A_{1}, A_{2}, A_{3})$、$\mathbf{B}=(B_{1}, B_{2}, B_{3})$が与えられたとする。このとき、2つのベクトルの内積は次のようになる。
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} $$
これを和記号$\sum$を用いて表現すると次のとおりだ。
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} = \sum \limits_{i=1}^{3}A_{i}B_{i} $$
すると、上記の式と$\sum \limits_{i=1}^{3}\sum \limits_{j=1}^{3}\delta_{ij}A_{i}B_{j}$が同じ式であることを以下で知ることができる。
$$ \begin{align*} \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta_{ij}A_{i}B_{j} &= \delta_{11}A_{1}B_{1} + \delta_{12}A_{1}B_{2} + \delta_{13}A_{1}B_{3} \\ & \quad+ \delta_{21}A_{2}B_{1} + \delta_{22}A_{2}B_{2} + \delta_{23}A_{2}B_{3} \\ & \quad+ \delta_{31}A_{3}B_{1} + \delta_{32}A_{3}B_{2} + \delta_{33}A_{3}B_{3} \\ &= 1\cdot A_{1}B_{1} + 0 \cdot A_{1}B_{2} + 0\cdot A_{1}B_{3} \\ & \quad+ 0\cdot A_{2}B_{1} + 1\cdot A_{2}B_{2} + 0\cdot A_{2}B_{3} \\ & \quad+ 0\cdot A_{3}B_{1} + 0\cdot A_{3}B_{2} + 1\cdot A_{3}B_{3} \\ &= A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3}A_{i}B_{i} \\ &= \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \end{align*} $$
この結果において、1つの辺に同じインデックスが2回以上現れた場合、$\sum$を省略するというアインシュタインの記法を適用すると次のようになる。
$$ \delta_{ij}A_{i}B_{j} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} $$
つまり、$\delta_{ij}A_{i}B_{j}$と$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$が同じということは分かるが、なぜこのような表現をするのかは理解しにくいかもしれない。上の例は非常に簡単な数式なので、その有用さが際立たないかもしれないが、電磁気学などで数多くのベクトルの内積や外積、グラディエント、ダイバージェンス、カール、ラプラシアンなどを計算すると、その便利さが分かるだろう。もし学部2年生なら、その便利さについて自然に知ることができるので、今無理に納得する必要はない。
また、2つの下付き添字が両方同じときだけ値があるため、次のように2つ以上のクロネッカーのデルタが掛け合わさっている場合は、当然すべての添字が同じときだけ値が存在する。
$$ \delta_{ij}\delta_{jk} $$
このような場合、$i=j=k$の場合にのみ$0$ではない値が存在する。また、クロネッカーのデルタは$2$階テンソルの一例である。
これを行列で表現して理解することもできる。
公式
$i,j \in \left\{ 1,2,3 \right\}$に対して次の公式が成り立つ。
(a) $\delta_{ii} = 3$
(b) $\delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{il}$
(c) $\delta_{ii}\delta_{jj} = 9$
(d) $\delta_{ii}\delta_{jj} = 6 \quad (i \ne j)$
ここで、同じインデックスが2回以上出てくる場合には$\sum$が省略されていることを忘れないようにしよう。
証明
(a)
アインシュタインの記法によって次が成り立つ。
$$ \delta_{ii} = \sum \limits_{i=1}^{3} \delta_{ii} = \delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=3 $$
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(b)
アインシュタインの記法によって次が成り立つ。
$$
\delta_{ij}\delta_{jl}=\sum\limits_{j=1}^{3}\delta_{ij}\delta_{jl}=\delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l}
$$
では、上の値が$0$ではない場合について考えてみよう。次の3つのケースがある。
$$ i=l=1 \quad \text{and} \quad i=l=2 \quad \text{and} \quad i=l=3 $$
第一の場合なら次が成り立つ。
$$ \delta_{i1}\delta_{1l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i2}\delta_{2l}=\delta_{i3}\delta_{3l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1 $$
第二のケースなら次が成り立つ。
$$ \delta_{i2}\delta_{2l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i1}\delta_{1l}=\delta_{i3}\delta_{3l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1 $$
第三のケースなら次が成り立つ。
$$ \delta_{i3}\delta_{3l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i1}\delta_{1l}=\delta_{i2}\delta_{2l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1 $$
従って、$\delta_{ij}\delta_{jl}$は$i=l$のときだけ値が$1$であり、その他の場合にはすべて値が$0$となるので、次の結果が得られる。
$$ \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{il} $$
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(c)
アインシュタインの記法により$\sum$が省略されているので次のようになる。
$$ \begin{align*} \delta_{ii}\delta_{jj} &= \sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^3{\delta_{ii}\delta_{jj}} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{3}{\delta_{ii} \sum\limits_{j=1}^3\delta_{jj}} \\ &= 3\cdot 3 \\ &= 9 \end{align*} $$
3番目の等号は**(a)** によって成り立つ。
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(d)
アインシュタインの記法により$\sum$が省略されているので次のようになる。
$$ \begin{align*} \delta_{ii}\delta_{jj} &= \sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{\substack{j=1 \\ j\ne i}}^{3}{\delta_{ii}\delta_{jj}} \\ &= \delta_{11}\delta_{22} +\delta_{11}\delta_{33} +\delta_{22}\delta_{11} +\delta_{22}\delta_{33}+\delta_{33}\delta_{11}+\delta_{33}\delta_{22} \\ &= 6 \end{align*} $$
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