クロネッカーのデルタ
定義
以下のように定義される$\delta_{ij}$をクロネッカーのデルタKronecker deltaと呼ぶ。
$$ \delta_{ij} := \begin{cases} 1,&i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases} $$
説明
クロネッカーのデルタは非常に多くの場所で使用され、すべての成分（要素、可能性など）の中で欲しいものだけを示すのが主な役割だ。物理学の学生なら、内積に関する表現で主に接することになる。これが何を意味するのかすぐにはわからないかもしれないから、以下の例を見て理解しよう。
例
まず、2つのベクトル$\mathbf{A}=(A_{1}, A_{2}, A_{3})$、$\mathbf{B}=(B_{1}, B_{2}, B_{3})$が与えられたとしよう。すると、二つのベクトルの内積は次のようになる。
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} $$
これを合計記号$\sum$を使って表現すると、次のようになる。
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} = \sum \limits_{i=1}^{3}A_{i}B_{i} $$
それでは、上の式と$\sum \limits_{i=1}^{3}\sum \limits_{j=1}^{3}\delta_{ij}A_{i}B_{j}$が同じ式であることを次でわかる。
$$ \begin{align*} \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta_{ij}A_{i}B_{j} &= \delta_{11}A_{1}B_{1} + \delta_{12}A_{1}B_{2} + \delta_{13}A_{1}B_{3} \\ & \quad+ \delta_{21}A_{2}B_{1} + \delta_{22}A_{2}B_{2} + \delta_{23}A_{2}B_{3} \\ & \quad+ \delta_{31}A_{3}B_{1} + \delta_{32}A_{3}B_{2} + \delta_{33}A_{3}B_{3} \\ &= 1\cdot A_{1}B_{1} + 0 \cdot A_{1}B_{2} + 0\cdot A_{1}B_{3} \\ & \quad+ 0\cdot A_{2}B_{1} + 1\cdot A_{2}B_{2} + 0\cdot A_{2}B_{3} \\ & \quad+ 0\cdot A_{3}B_{1} + 0\cdot A_{3}B_{2} + 1\cdot A_{3}B_{3} \\ &= A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3}A_{i}B_{i} \\ &= \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \end{align*} $$
一方の項に同じインデックスが2回以上出現する場合、$\sum$を省略するアインシュタイン記法を適用すると、次のようになる。
$$ \delta_{ij}A_{i}B_{j} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} $$
それで$\delta_{ij}A_{i}B_{j}$と$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$が同じであることはわかるが、なぜこのような表現を使うのかは理解できないかもしれない。上の例は非常に単純な式であるため、その有用性が目立たないかもしれないが、電磁気学などで多数のベクトルの内積や外積、勾配、発散、回転、ラプラシアンなどを計算すると、その便利さがわかるだろう。学部2年生なら、その便利さを自然に知ることになるので、今すぐ無理に納得する必要はない。
また、下添字が両方とも同じ場合のみ値があるため、複数のクロネッカーのデルタが掛けられている場合は、すべての添字が同じ場合のみ値がある。
$$ \delta_{ij}\delta_{jk} $$
このような場合、$i=j=k$の場合のみ、$0$ではない値が存在する。また、クロネッカーのデルタは$2$次テンソルの一例である。
公式
(a) $\delta_{ii} = 3$
(b) $\delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{il}$
(c) $\delta_{ii}\delta_{jj} = 9$
(d) $\delta_{ii}\delta_{jj} = 6 \quad (i \ne j)$
同じインデックスが項に2回以上出現する場合は$\sum$が省略されていることを忘れないでほしい。
証明
(a)
アインシュタイン記法により、以下が成立する。
$$ \delta_{ii} = \sum \limits_{i=1}^{3} \delta_{ii} = \delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=3 $$
■
(b)
アインシュタイン記法により、以下が成立する。
$$
\delta_{ij}\delta_{jl}=\sum\limits_{j=1}^{3}\delta_{ij}\delta_{jl}=\delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l}
$$
では、上記の値が$0$でない場合について考えよう。
$$ i=l=1 \quad \text{and} \quad i=l=2 \quad \text{and} \quad i=l=3 $$
最初の場合、以下が成立する。
$$ \delta_{i1}\delta_{1l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i2}\delta_{2l}=\delta_{i3}\delta_{3l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1 $$
二番目の場合、以下が成立する。
$$ \delta_{i2}\delta_{2l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i1}\delta_{1l}=\delta_{i3}\delta_{3l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1 $$
三番目の場合、以下が成立する。
$$ \delta_{i3}\delta_{3l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i1}\delta_{1l}=\delta_{i2}\delta_{2l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1 $$
したがって、$\delta_{ij}\delta_{jl}$は$i=l$のときのみ$1$の値を持ち、それ以外の場合はすべて値が$0$であるので、以下の結果が得られる。
$$ \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{il} $$
■
(c)
アインシュタイン記法により、$\sum$が省略されているので、以下のようになる。
$$ \begin{align*} \delta_{ii}\delta_{jj} &= \sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^3{\delta_{ii}\delta_{jj}} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{3}{\delta_{ii} \sum\limits_{j=1}^3\delta_{jj}} \\ &= 3\cdot 3 \\ &= 9 \end{align*} $$
三番目の等号は**（a）**により成立する。
■
(d)
アインシュタイン記法により、$\sum$が省略されているので、以下のようになる。
$$ \begin{align*} \delta_{ii}\delta_{jj} &= \sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{\substack{j=1 \\ j\ne i}}^{3}{\delta_{ii}\delta_{jj}} \\ &= \delta_{11}\delta_{22} +\delta_{11}\delta_{33} +\delta_{22}\delta_{11} +\delta_{22}\delta_{33}+\delta_{33}\delta_{11}+\delta_{33}\delta_{22} \\ &= 6 \end{align*} $$
■