細分화
この投稿はリーマン-スティルチェス積分を基準に書かれている。$\alpha=\alpha (x)=x$と設定すれば、リーマン積分と同じだ。
定義
$P^{\ast}$と$P$が$[a,b]$の分割であり、$P \subseteq P^{\ast}$を満たす場合、$P^{\ast}$を$P$の細分refinementという。従って、$P$の全ての点は$P^{\ast}$の点である。
任意の二つの分割$P_{1}$と$P_{2}$に対して、$P_{3}=P_{1} \cup P_{2}$を$P_{1}$と$P_{2}$の共通細分という。
高等学校で積分を定義する時、与えられたグラフを$n$等分し、$n$が無限大になる極限を取っていたことを思い出してみると、細分の役割がすぐに理解できるだろう。
定理
$P^{\ast}$が$P$の細分であるとする。すると、以下の二つの式が成立する。
$$ \begin{align} L(P,f,\alpha) &\le L(P^{\ast},f,\alpha) \label{eq1} \\ U(P^{\ast},f,\alpha) &\le U(P,f,\alpha) \label{eq2} \end{align} $$
この時、$L$と$U$はそれぞれリーマン(-スティルチェス)上和、下和である。
つまり、分割が細分化されるほど、下和は大きくなり、上和は小さくなるということだ。
証明
証明に先立って、以下のように与えられたとする。
$P^{\ast}$が$P$よりもちょうど一点多い細分であるとし、その点を$x^{\ast}$とし、ある$i=1,\cdots ,n$に対して$x_{i-1} < x^{\ast} < x_{i}$とする。
$\eqref{eq1}$
$P$に対するリーマン(-スティルチェス)下和は次のようになる。
$$ \begin{align*} L(P,f,\alpha) &= \sum \limits _{i=1} ^n m_{i} \Delta \alpha_{i} \\ &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \end{align*} $$
そして、以下のように設定する。
$$ \begin{align*} w_{1} &= \inf f(x) &(x_{i-1} \le x \le x^{\ast}) \\ w_2&= \inf f(x) &(x^{\ast} \le x \le x_{i}) \end{align*} $$
すると、$m_{i}=\inf f(x)\ \ (x_{i-1} \le x \le x_{i})$であるため、次が成り立つ。
$$ m_{i} \le w_{1} \quad \text{and} \quad m_{i} \le w_2 $$
従って、次を得る。
$$ \begin{align*} m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] &\le w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] \\ &= w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] \end{align*} $$
したがって、次が成り立つ。
$$ \begin{align*} L(P,f,\alpha) &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &\le w_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= L(P^{\ast},f,\alpha) \end{align*} $$
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$\eqref{eq2}$
$\eqref{eq1}$と同じ方法で証明する。$P$に対するリーマン(-スティルチェス)上和は次のようになる。
$$ \begin{align*} U(P,f,\alpha) &= \sum \limits _{i=1} ^n M_{i} \Delta \alpha_{i} \\ &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \end{align*} $$
そして、以下のように設定する。
$$ \begin{align*} W_{1} &= \sup f(x)& (x_{i-1} \le x \le x^{\ast}) \\ W_2&= \sup f(x)&(x^{\ast} \le x \le x_{i}) \end{align*} $$ すると、$M_{i}=\sup f(x)\ \ (x_{i-1} \le x \le x_{i})$であるため、次が成り立つ。
$$ W_{1} \le M_{i} \quad \text{and} \quad W_2 \le M_{i} $$
従って、次を得る。
$$ \begin{align*} M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] & \ge W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] \\ &= W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] \end{align*} $$
したがって、次が成り立つ。
$$ \begin{align*} U(P,f,\alpha) &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &\ge W_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= U(P^{\ast},f,\alpha) \end{align*} $$
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