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細分화 📂解析学

細分화

この投稿はリーマン-スティルチェス積分を基準に書かれている。α=α(x)=x\alpha=\alpha (x)=xと設定すれば、リーマン積分と同じだ。

定義

  • P∗P^{\ast}とPPが[a,b][a,b]の分割であり、P⊆P∗P \subseteq P^{\ast}を満たす場合、P∗P^{\ast}をPPの細分refinementという。従って、PPの全ての点はP∗P^{\ast}の点である。

  • 任意の二つの分割P1P_{1}とP2P_{2}に対して、P3=P1∪P2P_{3}=P_{1} \cup P_{2}をP1P_{1}とP2P_{2}の共通細分という。

高等学校で積分を定義する時、与えられたグラフをnn等分し、nnが無限大になる極限を取っていたことを思い出してみると、細分の役割がすぐに理解できるだろう。

定理

P∗P^{\ast}がPPの細分であるとする。すると、以下の二つの式が成立する。

L(P,f,α)≤L(P∗,f,α)U(P∗,f,α)≤U(P,f,α) \begin{align} L(P,f,\alpha) &\le L(P^{\ast},f,\alpha) \label{eq1} \\ U(P^{\ast},f,\alpha) &\le U(P,f,\alpha) \label{eq2} \end{align}

この時、LLとUUはそれぞれリーマン(-スティルチェス)上和、下和である。

つまり、分割が細分化されるほど、下和は大きくなり、上和は小さくなるということだ。

証明

証明に先立って、以下のように与えられたとする。

  • f:[a,b]→Rf : [a,b] \to \mathbb{R}が有界である。
  • α:[a,b]→R\alpha : [a,b] \to \mathbb{R}は単調増加関数である。
  • PPを[a,b][a,b]の分割とする。

P∗P^{\ast}がPPよりもちょうど一点多い細分であるとし、その点をx∗x^{\ast}とし、あるi=1,⋯ ,ni=1,\cdots ,nに対してxi−1<x∗<xix_{i-1} < x^{\ast} < x_{i}とする。

(eq1)\eqref{eq1}

PPに対するリーマン(-スティルチェス)下和は次のようになる。

L(P,f,α)=∑i=1nmiΔαi=m1Δα1+⋯+mi[α(xi)−α(xi−1)]+⋯+mnΔαn=m1Δα1+⋯+mi[α(xi)−α(x∗)]+mi[α(x∗)−α(xi−1)]+⋯+mnΔαn \begin{align*} L(P,f,\alpha) &= \sum \limits _{i=1} ^n m_{i} \Delta \alpha_{i} \\ &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \end{align*}

そして、以下のように設定する。

w1=inf⁡f(x)(xi−1≤x≤x∗)w2=inf⁡f(x)(x∗≤x≤xi) \begin{align*} w_{1} &= \inf f(x) &(x_{i-1} \le x \le x^{\ast}) \\ w_2&= \inf f(x) &(x^{\ast} \le x \le x_{i}) \end{align*}

すると、mi=inf⁡f(x)  (xi−1≤x≤xi)m_{i}=\inf f(x)\ \ (x_{i-1} \le x \le x_{i})であるため、次が成り立つ。

mi≤w1andmi≤w2 m_{i} \le w_{1} \quad \text{and} \quad m_{i} \le w_2

従って、次を得る。

mi[α(xi)−α(x∗)]+mi[α(x∗)−α(xi−1)]≤w2[α(xi)−α(x∗)]+w1[α(x∗)−α(xi−1)]=w1[α(x∗)−α(xi−1)]+w2[α(xi)−α(x∗)] \begin{align*} m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] &\le w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] \\ &= w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] \end{align*}

したがって、次が成り立つ。

L(P,f,α)=m1Δα1+⋯+mi[α(xi)−α(x∗)]+mi[α(x∗)−α(xi−1)]+⋯+mnΔαn≤w1Δα1+⋯+w1[α(x∗)−α(xi−1)]+w2[α(xi)−α(x∗)]+⋯+mnΔαn=L(P∗,f,α) \begin{align*} L(P,f,\alpha) &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &\le w_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= L(P^{\ast},f,\alpha) \end{align*}

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(eq2)\eqref{eq2}

(eq1)\eqref{eq1}と同じ方法で証明する。PPに対するリーマン(-スティルチェス)上和は次のようになる。

U(P,f,α)=∑i=1nMiΔαi=M1Δα1+⋯+Mi[α(xi)−α(xi−1)]+⋯+MnΔαn=M1Δα1+⋯+Mi[α(xi)−α(x∗)]+Mi[α(x∗)−α(xi−1)]+⋯+MnΔαn \begin{align*} U(P,f,\alpha) &= \sum \limits _{i=1} ^n M_{i} \Delta \alpha_{i} \\ &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \end{align*}

そして、以下のように設定する。

W1=sup⁡f(x)(xi−1≤x≤x∗)W2=sup⁡f(x)(x∗≤x≤xi) \begin{align*} W_{1} &= \sup f(x)& (x_{i-1} \le x \le x^{\ast}) \\ W_2&= \sup f(x)&(x^{\ast} \le x \le x_{i}) \end{align*} すると、Mi=sup⁡f(x)  (xi−1≤x≤xi)M_{i}=\sup f(x)\ \ (x_{i-1} \le x \le x_{i})であるため、次が成り立つ。

W1≤MiandW2≤Mi W_{1} \le M_{i} \quad \text{and} \quad W_2 \le M_{i}

従って、次を得る。

Mi[α(xi)−α(x∗)]+Mi[α(x∗)−α(xi−1)]≥W2[α(xi)−α(x∗)]+W1[α(x∗)−α(xi−1)]=W1[α(x∗)−α(xi−1)]+W2[α(xi)−α(x∗)] \begin{align*} M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] & \ge W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] \\ &= W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] \end{align*}

したがって、次が成り立つ。

U(P,f,α)=M1Δα1+⋯+Mi[α(xi)−α(x∗)]+Mi[α(x∗)−α(xi−1)]+⋯+MnΔαn≥W1Δα1+⋯+W1[α(x∗)−α(xi−1)]+W2[α(xi)−α(x∗)]+⋯+MnΔαn=U(P∗,f,α) \begin{align*} U(P,f,\alpha) &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &\ge W_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= U(P^{\ast},f,\alpha) \end{align*}

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