📂位相幾何学

位相数学における経路連結性

定義 ¹

$X$ を位相空間とし、$C \subset \mathbb{R}^{n}$ としよう。

1. 連続関数 $p : [0,1] \to X$ を始点^{initial point} $p(0)$ から終点^{terminal point} $p(1)$ までの経路^pathという。$\overline{p}(t) = p(1-t)$ を $p$ の逆経路^{reverse path}という。
2. すべての $a,b \in X$ に対して $p(0) = a$ と $p(1) = b$ を満たす経路 $p$ が存在すれば、$X$ を経路連結^{path Connected}空間という。
3. すべての $a,b \in C$ と $t \in [0,1]$ に対して $(1-t) a + t b \in C$ ならば、$C$ を凸^convexであるという。
4. $p(0) = p(1)$ ならば閉経路^{closed path}という。

説明

簡単に言えば、ある空間の二点を結ぶ経路が常に存在すれば、それを経路連結と呼ぶ。

• $X$ は非連結空間である $\iff$ 連続関数 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ が存在する。
• $X$ は経路連結空間である $\iff$ 連続関数 $p : [0,1] \to X$ が存在する。

非連結空間と経路連結空間の場合、ある条件を満たす連続関数が存在するかで区別すると考えやすい。もちろん、上記の命題には多くのことが省略されているので、そのまま受け取ると困る。

凸

凸の概念は特にユークリッド空間の部分集合でのみ定義される必要はなく、ベクトル空間の部分空間であればいくらでも定義できる。凸であるとは、幾何学的に言えば $C$ の二点を結ぶ直線が常に $C$ 内に存在することである。

例として上記の二つの図形を見ると、青い円はどの二点を取っても直線で結ぶことができるので凸である。オレンジ色の図形はその内部に $a$ と $b$ を結ぶことのできる直線が存在しないので凸ではない。

連結性

一方、経路連結空間の定義をよく見ると、実質的に連結空間と変わらないように見える。実際に次の定理はそれほど難しくなく証明でき、この二つを区別することは無意味に思える。しかし連結と経路連結は確かに異なる概念であり、上記の定理の逆が成り立たないことを示す反例が存在するためである。逆が成り立つ場合としては $\mathbb{R}$ の凸部分空間あるいは開連結部分空間がある。

定理: 経路連結空間であれば連結空間である。

証明

経路連結空間 $X$ について $X = \emptyset$ であれば $X$ は連結空間である。$X \ne \emptyset$ であれば、ある点 $a \in X$ を選べる。すると、任意の $x \in X$ に対して $p_{x} (0) = a$、$p_{x} (1) = x$ を満たす連続関数 $p_{x} : [0,1] \to X$ が存在する。

連結空間の連続像は連結空間 連結空間 $X$ に対して $f : X \to Y$ が連続関数であれば、$f(X)$ は連結空間である。

$[0,1]$ は連結空間なので $p_{x} ( [0,1] )$ は連結空間であり、$\displaystyle a \in \bigcap_{x \in X} p_{x} ( [0, 1] )$ なので $\displaystyle \bigcap_{x \in X} p_{x} ( [0, 1] ) \ne \emptyset$

(3) $X$ の連結部分空間の集合 $\left\{ A_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$ に対して $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset$ であれば、$\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \forall} A_{\alpha}$ は連結空間である。

したがって $\displaystyle X = \bigcup_{x \in X} p_{x} ( [0, 1] )$ は連結空間である。

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関連リンク

• ベクトル空間で一般的に定義された凸集合