三重対角行列の行列式導出
数式
三重対角行列 $X_{n} := \begin{bmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{bmatrix}$ について $$ | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right) $$
$U_{n}$ は $n$ 次の第二種チェビシェフ多項式 を表する。
もちろん、$X_{n}$ は一般的な三重対角行列ではなく、三重対角トプリッツtoeplitz行列の中でも特殊な形をしている。その中でも特に偏微分方程式の数値解析的解法に役立つ形であり、普通はその固有値に関心が多い。
証明
**パート1. $| X_{n+1} | = x | X_{n} | - | X_{n-1} |$
ラプラス展開：選択された$i$行について $$ \det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $$
$n \times n$行列 $Y_{n} : = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{bmatrix}$ を定義しよう。$Y_{n}$の最初の列は$(1, 0 , \cdots , 0)$となり、最初の成分を除いてゼロベクトルになるため、最初の列を含む余因子は$0$となる。したがって、
$$ | Y_{n} | = 1 \cdot | X_{n-1} | - 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - \cdots \pm 0 \cdot 0 = | X_{n-1} | $$
同様にラプラス展開により、
$$ | X_{n+1} | = x \cdot | X_{n} | - 1 \cdot | Y_{n} | + 0 \cdot 0 - \cdots \pm 0 \cdots 0 = x | X_{n} | - | X_{n-1} | $$
**パート2. $\displaystyle | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right)$
命題 $\displaystyle P(n) : | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right)$ を定義し 数学的帰納法を使おう。
$n=1$ の時、 $$ | X_{1} | = x \\ U_{1} \left( {{x} \over {2}} \right) = 2 {{x} \over {2}} = x $$
$n=2$ の時、 $$ | X_{2} | = x^2 - 1 \\ U_{2} \left( {{x} \over {2}} \right) = 4 \left( {{x} \over {2}} \right)^2 - 1 = x^2 - 1 $$
命題 $P(n)$ が $n=k-1$、$n=k$ の時に成立すると仮定する。
$$ U_{n+1} (x) = 2x U_{n} (x) - U_{n-1} (x) $$
パート1から、
$$ | X_{k+1} | = x | X_{k} | - | X_{k-1} | $$
そして、
$$ U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = x U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) - U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right) $$
したがって、
$$ | X_{k+1} | - U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = x \left[ | X_{k} | - U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) \right] - \left[ | X_{k-1} | - U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right) \right] $$
$\displaystyle | X_{k} | = U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right)$ 且つ $\displaystyle | X_{k-1} | = U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right)$ から、
$$ | X_{k+1} | - U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = 0 $$
数学的帰納法により、命題 $P(n)$ は$n \in \mathbb{N}$ について真である。
■