📂抽象代数

多項式の既約元

定義 ¹

定数関数ではない$f(x) \in F [ x ]$が$f(x)$より次数が低い何らかの$g(x) , h(x) \in F [ x ]$の積$f(x) = g(x) h(x)$として表すことができないとき、$f(x)$は$F$上での既約元と言われる。

説明

例えば$\mathbb{Q} [x ]$を考えてみると、$x^2 - 2$は$\mathbb{Q}$上で既約元であるが、$\mathbb{R} [ x ]$での$x^2 - 2$は$\mathbb{R}$上で $$ (x + \sqrt{2} ) ( x - \sqrt{2} ) $$ と因数分解できる。また、$x^2 + 1$は$\mathbb{R}$上では既約元だが$\mathbb{C}$では $$ (x + i ) ( x - i ) $$ と因数分解できる。

位相数学で開集合と閉集合を話すとき、全体集合をどこにするかが重要なのと同じように、どこで既約かを気にしなければならない。もちろん、定義では$F [ x ]$の多項式は$F$上でだけ考えればいいが、$F$を拡張した$E$については$f(x) \in E[x]$になるだろう。

このような既約性を考えることで、我々は因数定理の真の完成を考えることができるようになる。

定理

• [1]: 既約元$p(x) \in F [ x ]$が$r_{1} (x) \cdots r_{n} (x) \in F [ x ]$を割るなら、$p(x)$は$r_{1} (x) , \cdots , r_{n} (x) $のいずれかを割らなければならない。
• [2]: $F$上で定数関数ではないすべての$f(x) \in F [ x ]$は既約元の積に因数分解され、その方法は唯一である。

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• ここで言う唯一性は、その順序や単位元の掛け合わせは考慮しないことである。たとえば $$ x^2-1 = (x+1)(x-1) = [-(x+1)][-(x-1)] = (x-1)(x+1) $$ といった違いは気にしないということである。

意義

この定理は数論で現れる算術の基本定理を抽象代数に拡張したものと見ることができる。因数定理が多項式の因数分解の存在性を証明したならば、上の事実はそれが唯一性を保証するものである。