第2同型定理の証明
サマリー 1
- 第一同型定理：準同型写像$\phi : G \to G'$が存在すれば $$ G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G) $$
- 第二同型定理：$H \le G$かつ$N \triangleleft G$ならば $$ (HN) / N \simeq H / (H \cap N) $$
- 第三同型定理：$H , K \triangleleft G$かつ$K \leq H$ならば $$ G/H \simeq (G/K) / (H/K) $$
同型定理は、代数学者のエミー・ネーターによって証明され、上述の3つの独立した定理を指す。
解説
第二同型定理が使用されるほとんどの場合で、$HN := \left\{ hn \ | \ h \in H , n \in N \right\}$は二つの正規部分群$H , N \triangleleft G$の積として考えても問題ないが、これは$HN \triangleleft G$が簡単な計算を通じて容易に示される。第二同型定理の商群の表現を少し修正すると $$ {{HN} \over {N}} \simeq {{H } \over { H \cap N }} $$ これは、分子と分母で共通する因子を消す、いわば「約分」と見ることができるだろう。
証明
戦略：$\phi : HN \to H / ( H \cap N)$を $$ \phi (hn) := h(H \cap N) $$ と定義しよう。$\phi$が典型的な写像で、$N$が$\ker \phi$であることを示した後、第一同型定理を使えば証明は完結する。
Part 1. $\phi$は関数だ。
- $\phi$の定義域は$HN$であるため、$x \in HN$とすれば、ある$h_{x} \in H$と$n_{x} \in N$の積$x = h_{x} n_{x}$として表される。
- $\phi$の値域は$H / \left( H \cap N \right)$であるため、$\phi$による$x \in HN$の関数値$\phi (x)$は、剰余類$\left( H \cap N \right)$である$H$の元$h_{x} \in H$が左から乗じた形$h_{x} \left( H \cap N \right)$として現れる。
したがって、$x,y \in HN$に対して $$ \begin{align*} & x = y \\ \implies& h_{x} n_{x} = x = y = h_{y} n_{y} \\ \implies& H \ni h_{y}^{-1} h_{x} = n_{y} n_{x}^{-1} \in N \\ \implies& h_{y}^{-1} h_{x} \in \left( H \cap N \right) \\ \implies& h_{x} \in h_{y} \left( H \cap N \right) \\ \implies& h_{x} (H \cap N) = h_{y} (H \cap N) \\ \implies& \phi \left( h_{x} n_{x} \right) = \phi \left( h_{y} n_{y} \right) \\ \implies& \phi (x) = \phi (y) \end{align*} $$ となるので、$\phi$は関数である。
Part 2. $\phi$は準同型写像だ。
$h_{1} n_{1} , h_{2} n_{2} \in HN$に対して $$ \begin{align*} \phi ( ( h_{1} n_{1} ) ( h_{2} n_{2} ) ) =& \phi ( h_{1} h_{2} n_{1} n_{2} ) \\ =& h_{1} h_{2} (H \cap N) \\ =& h_{1} (H \cap N) h_{2} (H \cap N) \\ =& \phi (h_{1} n_{1} ) \phi ( h_{2} n_{2} ) \end{align*} $$ したがって、$\phi$は準同型写像である。
Part 3. $\phi$は全射だ。
$e$を$N$の単位元としよう。そうすると、すべての$h(H \cap N) \in H / (H \cap N )$に対して $$ \phi (hn) = h (H \cap N ) $$ 条件を満たす$h e = h \in HN$が存在するので、$\phi$は全射である。
Part 4. $N = \ker ( \phi )$
$( \subset )$$n \in N$ならば$\phi (n) = \phi ( en) = e (H \cap N ) = H \cap N$であるので $$ n \in \ker ( \phi ) $$ $( \supset )$$hn \in \ker ( \phi)$ならば$\phi (hn) = H \cap N$から$hn \in ( H \cap N )$であるので $$ hn \in N $$
Part 5.
第一同型定理：準同型写像$\phi : G \to G'$が存在すれば$G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$
$\phi : HN \to H / ( H \cap N)$は準同型写像であり全射であるので、$\phi ( NH ) = H / ( H \cap N)$。一方で、$N = \ker ( \phi )$のため、第一同型定理により以下が成立する。 $$ (HN) / N \simeq H / (H \cap N) $$
■