📂抽象代数

第2同型定理の証明

定理¹

$G,G'$が群であるとしよう。

• 第1同型定理：準同型写像$\phi : G \to G'$が存在すれば $$ G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G) $$
• 第2同型定理：$H \le G$かつ$N \triangleleft G$ならば $$ (HN) / N \simeq H / (H \cap N) $$
• 第3同型定理：$H , K \triangleleft G$かつ$K \leq H$ならば $$ G/H \simeq (G/K) / (H/K) $$

同型定理^{isomorphism theorem}とは、代数学者エミー・ネーターによって証明された定理で、互いに独立な上の三つの定理を指す。

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• $\ker$はカーネルである。
• $N \triangleleft G$は、$N$が$G$の正規部分群であることを意味する。

説明

第2同型定理が使われるほとんどの場合において、$HN := \left\{ hn \ | \ h \in H , n \in N \right\}$は二つの正規部分群$H , N \triangleleft G$の積と考えても差し支えないが、このとき$HN \triangleleft G$であることは簡単な計算によって難なく示せる。第2同型定理における商群の表現を少し書き換えると $$ {{HN} \over {N}} \simeq {{H } \over { H \cap N }} $$ である。これは、分子と分母に共通する因数を消す、一種の「約分」と見なせるだろう。

証明

戦略：$\phi : HN \to H / ( H \cap N)$を $$ \phi (hn) := h(H \cap N) $$ のように定義しよう。$\phi$が全射準同型写像であり、$N$が$\ker \phi$であることを示した後、第1同型定理を使えば証明は終わる。

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Part 1. $\phi$は関数である。

• $\phi$の定義域は$HN$なので、$x \in HN$とすると、ある$h_{x} \in H$と$n_{x} \in N$の積$x = h_{x} n_{x}$として表される。
• $\phi$の終域は$H / \left( H \cap N \right)$なので、$x \in HN$に対する$\phi$の関数値$\phi (x)$は、$H$の剰余類$\left( H \cap N \right)$にある元$h_{x} \in H$が左から掛けられた形$h_{x} \left( H \cap N \right)$として表される。

したがって、$x,y \in HN$に対して $$ \begin{align*} & x = y \\ \implies& h_{x} n_{x} = x = y = h_{y} n_{y} \\ \implies& H \ni h_{y}^{-1} h_{x} = n_{y} n_{x}^{-1} \in N \\ \implies& h_{y}^{-1} h_{x} \in \left( H \cap N \right) \\ \implies& h_{x} \in h_{y} \left( H \cap N \right) \\ \implies& h_{x} (H \cap N) = h_{y} (H \cap N) \\ \implies& \phi \left( h_{x} n_{x} \right) = \phi \left( h_{y} n_{y} \right) \\ \implies& \phi (x) = \phi (y) \end{align*} $$ となるので、$\phi$は関数である。

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Part 2. $\phi$は準同型写像である。

$h_{1} n_{1} , h_{2} n_{2} \in HN$に対して $$ \begin{align*} \phi ( ( h_{1} n_{1} ) ( h_{2} n_{2} ) ) =& \phi ( h_{1} h_{2} n_{1} n_{2} ) \\ =& h_{1} h_{2} (H \cap N) \\ =& h_{1} (H \cap N) h_{2} (H \cap N) \\ =& \phi (h_{1} n_{1} ) \phi ( h_{2} n_{2} ) \end{align*} $$ したがって、$\phi$は準同型写像である。

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Part 3. $\phi$は全射である。

$e$を$N$の単位元としよう。するとすべての$h(H \cap N) \in H / (H \cap N )$に対して $$ \phi (hn) = h (H \cap N ) $$ を満たす$h e = h \in HN$が存在するので、$\phi$は全射である。

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Part 4. $N = \ker ( \phi )$

$( \subset )$ $n \in N$ならば$\phi (n) = \phi ( en) = e (H \cap N ) = H \cap N$なので $$ n \in \ker ( \phi ) $$ $( \supset )$ $hn \in \ker ( \phi)$ならば$\phi (hn) = H \cap N$から$hn \in ( H \cap N )$なので $$ hn \in N $$

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Part 5.

第1同型定理：準同型写像$\phi : G \to G'$が存在すれば$G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$

$\phi : HN \to H / ( H \cap N)$は準同型写像であり全射なので、$\phi ( NH ) = H / ( H \cap N)$である。一方、$N = \ker ( \phi )$なので、第1同型定理により次が成立する。 $$ (HN) / N \simeq H / (H \cap N) $$

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