ルベーグ空間におけるミンコフスキーの不等式の証明
📂ルベーグ空間ルベーグ空間におけるミンコフスキーの不等式の証明
証明
p=1の場合は、積分の性質によって自明に成立する。
∫Ω∣u(x)+v(x)∣dx≤∫Ω∣u(x)∣dx+∫Ω∣v(x)∣dx
1<p<∞とする。wをw≥0であり、∥w∥p′≤1の関数とする。
ヘルダーの不等式
p1+p′1=1に関する1≤p,p′<∞で、u∈Lp(Ω)とv∈Lp′(Ω)ならば
∫Ω∣u(x)v(x)∣dx≤∥u∥p∥v∥p′
すると、ヘルダーの不等式により以下が成立する。
∫Ω∣u(x)+v(x)∣w(x)dx≤≤≤∫Ω∣u(x)∣w(x)dx+∫Ω∣v(x)∣w(x)dx∥u∥p∥w∥p′+∥v∥p∥w∥p′∥u∥p+∥v∥p
従って、以下の式が成立する。
sup{∫Ω∣u(x)+v(x)∣w(x)dx:v(x)≥0 on Ω,∥w∥p′≤1}<∥u∥p+∥v∥p
ヘルダーの不等式の逆: Lp関数の十分条件
sup{∫Ω∣u(x)∣v(x)dx:v(x)≥0 on Ω,∥v∥p′≤1}<∞が成立すれば、
u∈Lp(Ω)and∥u∥p=sup{∫Ω∣u(x)∣v(x)dx:v(x)≥0 on Ω,∥v∥p′≤1}
上記の定理により、
∥u+v∥p<∥u∥p+∥v∥p
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参照