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ルベーグ空間におけるミンコフスキーの不等式の証明 📂ルベーグ空間

ルベーグ空間におけるミンコフスキーの不等式の証明

証明

p=1p=1の場合は、積分の性質によって自明に成立する。

Ωu(x)+v(x)dxΩu(x)dx+Ωv(x)dx \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| dx \le \int_{\Omega} \left| u(x) \right| dx + \int_{\Omega} \left| v(x) \right| dx

1<p<1 \lt p \lt \inftyとする。www0w \ge 0であり、wp1\left\| w \right\|_{p^{\prime}} \le 1の関数とする。

ヘルダーの不等式

1p+1p=1\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1に関する1p,p<1 \le p, p^{\prime} < \inftyで、uLp(Ω)u \in L^p(\Omega)vLp(Ω)v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)ならば

Ωu(x)v(x)dxupvp \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}

すると、ヘルダーの不等式により以下が成立する。

Ωu(x)+v(x)w(x)dxΩu(x)w(x)dx+Ωv(x)w(x)dxupwp+vpwpup+vp \begin{align*} \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| w(x) dx \le & \int_{\Omega} \left| u(x) \right| w(x) dx + \int_{\Omega} \left| v(x) \right| w(x) dx \\ \le & \left\| u \right\|_{p} \left\| w \right\|_{p^{\prime}} + \left\| v \right\|_{p} \left\| w \right\|_{p^{\prime}} \\ \le & \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} \end{align*}

従って、以下の式が成立する。

sup{Ωu(x)+v(x)w(x)dx:v(x)0 on Ω,wp1}<up+vp \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| w(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| w \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p}

ヘルダーの不等式の逆: LpL^{p}関数の十分条件

sup{Ωu(x)v(x)dx:v(x)0 on Ω,vp1}<\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \inftyが成立すれば、 uLp(Ω)andup=sup{Ωu(x)v(x)dx:v(x)0 on Ω,vp1} u\in L^{p}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{p} = \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\}

上記の定理により、

u+vp<up+vp \left\| u + v \right\|_{p} \lt \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p}

参照