ルベーグ空間におけるミンコフスキーの不等式の証明
証明
$p=1$の場合は、積分の性質によって自明に成立する。
$$ \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| dx \le \int_{\Omega} \left| u(x) \right| dx + \int_{\Omega} \left| v(x) \right| dx $$
$1 \lt p \lt \infty$とする。$w$を$w \ge 0$であり、$\left\| w \right\|_{p^{\prime}} \le 1$の関数とする。
$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$に関する$1 \le p, p^{\prime} < \infty$で、$u \in L^p(\Omega)$と$v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$ならば
$$ \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$
すると、ヘルダーの不等式により以下が成立する。
$$ \begin{align*} \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| w(x) dx \le & \int_{\Omega} \left| u(x) \right| w(x) dx + \int_{\Omega} \left| v(x) \right| w(x) dx \\ \le & \left\| u \right\|_{p} \left\| w \right\|_{p^{\prime}} + \left\| v \right\|_{p} \left\| w \right\|_{p^{\prime}} \\ \le & \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} \end{align*} $$
従って、以下の式が成立する。
$$ \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| w(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| w \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} $$
$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty$が成立すれば、 $$ u\in L^{p}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{p} = \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} $$
上記の定理により、
$$ \left\| u + v \right\|_{p} \lt \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} $$
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