📂ルベーグ空間

L2空間

定義 ¹

関数空間 $L^{2}$ を次のように定義する。

$$L^{2} (E) := \left\{ f : \left( \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1} \over {2}} < \infty \right\}$$

性質

1. $L^{2}$は距離空間である。距離は次のように定義される。 $$d(f,g) := \left( \int \left| f(x) - g(x) \right|^{2}dx \right)^{\frac{1}{2}} = \left\| f-g \right\|_{2} = \sqrt{\braket{f-g, f-g}}$$
2. $L^{2}$はベクトル空間である。
3. $L^{2}$はノルム空間である。ノルムは次のように定義される。 $$\left\| f \right\|_{2} := \left( \int \left| f(x) \right|^{2}dx \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\braket{f,f}}$$
4. $L^{2}$は完備空間である。
5. $L^{2}$は内積空間である。内積は次のように定義される。 $$\braket{f, g} := \int \overline{f(x)}g(x)dx$$

説明

$L^{2}$空間は、$p=2$の時の$L^{p}$空間の特別な場合であり、$L^{p}$空間の中で唯一内積が定義される空間である。完備内積空間は特にヒルベルト空間^{hilbert space}と呼ばれる。したがって、$L^{2}$はヒルベルト空間である。ヒルベルト空間は、偏微分方程式や量子力学を含む様々な分野で登場する重要な空間である。

$L^{p}$空間についての一般化された証明は、こちらを参照してください。

証明

3.

ノルムの定義

$V$を$\mathbb{F}$上のベクトル空間としよう。関数$\left\| \cdot \right\| : V \to \mathbb{F}$が$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$と$k \in \mathbb{F}$に対して次の三つの条件を満たすならば、それを**$V$上のノルム**と定義する。

• 正定性: $\left\| \mathbf{u} \right\| \ge 0$そして$\mathbf{u} = \mathbb{0} \iff \left\| \mathbf{u} \right\| = 0$
• 斉次性: $\left\|k \mathbf{u} \right\| = | k | \left\| \mathbf{u} \right\|$
• 三角不等式: $\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v}\right\| \le \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\| \mathbf{u} \right\|$

$L ^{2}$のノルムを$\displaystyle \left\| f \right\|_{2} := \left( \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1} \over {2}}$のように定義しよう。

• Part 1. 正定性

  $| f | \ge 0$だから、$\left\| f \right\|_{2} \ge 0$ほとんど至る所で$f = 0$ならば、$\left\| f \right\|_{2} = 0$である。反対に、$\left\| f \right\|_{2} = 0$ならば、ほとんど至る所で$f = 0$でなければならない。

• Part 2. 斉次性

  $$\left\| c f \right\|_{2} = \left( \int_{E} | c f |^2 dm \right)^{{1}\over {2}} =\left( |c|^2 \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1}\over {2}} = |c| \left( \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1}\over {2}} = |c| \left\| f\right\|_{2}$$

• Part 3. 三角不等式

  $$\begin{align*} \left\| f + g \right\|_{2}^{2} =& \int_{E} | f + g |^2 dm \\ =& \int_{E} ( f + g ) \overline{( f + g )} dm \\ =& \int_{E} | f |^2 dm + \int_{E} ( f \overline{g} + \overline{f} g ) dm +\int_{E} | g |^2 dm \end{align*}$$

  コーシー-シュワルツの不等式により、次を得る。

  $$\begin{align*} \int_{E} ( f \overline{g} + \overline{f} g ) dm \le & 2 \int_{E} | fg | dm \le 2 | f |_{2} | g |_{2} \\ =& | f + g | _{2}^{2} \le | f | _{2} + 2 | f | _{2} | g | _{2} + | g | _{2} \\ =& \left( | f |_{2} + | g |_{2} \right)^{2} \end{align*}$$

  まとめると

  $$\left\| f + g \right\|_{2} \le \left\| f \right\|_{2} + | g |_{2}$$

■

5.

内積の定義

$H$をベクトル空間としよう。$x,y,z \in H$と$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$に対して、次の条件を満たす関数

$$\langle \cdot , \cdot \rangle : H \times H \to \mathbb{C}$$

を内積と定義し、$\left( H, \langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$を内積空間と言う。

• 線形性: $\langle \alpha x + \beta y ,z \rangle =\alpha \langle x,z\rangle + \beta \langle y,z\rangle$
• 共役対称性: $\langle x,y \rangle = \overline{ \langle y,x \rangle}$
• 正定性: $\langle x,x \rangle \ge 0 \quad \text{and} \quad \langle x,x \rangle = 0\iff x=0$

$L ^{2}$の内積を$\displaystyle \langle f , g \rangle := \int_{E} f \overline{g} dm$のように定義しよう。

• Part 1. 線形性

  $$\langle f + g , h \rangle = \int_{E} ( f + g ) \overline{g} dm = \int_{E} f \overline{g} dm + \int_{E} g \overline{g} dm = \langle f , h \rangle + \langle g , h \rangle$$

  そして

  $$\langle c f , g \rangle = \int_{E} c f \overline{g} dm = c \int_{E} f \overline{g} dm = c \langle f , g \rangle$$

• Part 2. 共役対称性

  $$\langle f , g \rangle = \int_{E} f \overline{g} dm = \overline{ \int_{E} \overline{f} g dm} = \overline{ \int_{E} g \overline{f} dm} = \overline{ \langle f , g \rangle }$$

• Part 3. 正定性

  $$\langle f, f \rangle = \int_{E} f \overline{f} dm = \int_{E} | f |^2 dm = \sqrt{ | f |_{2} }$$

性質 3. のPart 1により証明終了だ。

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参照

• $L^{p}$空間
• $L^{1}$空間
• ヒルベルト空間