L2空間

定義 ¹

関数空間$L^{2}$を次のように定義する。

$$ L^{2} (E) := \left\{ f : \left( \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1} \over {2}} < \infty \right\} $$

性質

$L^{2}$は距離空間である。距離は次のように定義される。 $$ d(f,g) := \left( \int \left| f(x) - g(x) \right|^{2}dx \right)^{\frac{1}{2}} = \left\| f-g \right\|_{2} = \sqrt{\braket{f-g, f-g}} $$
$L^{2}$はベクトル空間である。
$L^{2}$はノルム空間である。ノルムは次のように定義される。 $$ \left\| f \right\|_{2} := \left( \int \left| f(x) \right|^{2}dx \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\braket{f,f}} $$
$L^{2}$は完備空間である。
$L^{2}$は内積空間である。内積は次のように定義される。 $$ \braket{f, g} := \int \overline{f(x)}g(x)dx $$

説明

$L^{2}$空間は$L^{p}$空間の$p=2$のときの特殊な場合であり、$L^{p}$空間の中で唯一内積が定義される空間である。完備空間である内積空間を特別にヒルベルト空間^{hilbert space}と呼ぶ。したがって$L^{2}$はヒルベルト空間である。ヒルベルト空間は偏微分方程式、量子力学をはじめとする様々な分野で登場する重要な空間である。

$L^{p}$空間に対して一般化された証明はここを参照せよ。

証明

3.

ノルムの定義
$V$を$\mathbb{F}$上のベクトル空間とする。関数$\left\| \cdot \right\| : V \to \mathbb{F}$が$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$と$k \in \mathbb{F}$に対して次の三つの条件を満たすとき、$\left\| \cdot \right\|$を**$V$上のノルム**と定義する。
正定値性: $\left\| \mathbf{u} \right\| \ge 0$であり$\mathbf{u} = \mathbb{0} \iff \left\| \mathbf{u} \right\| = 0$
同次性: $\left\|k \mathbf{u} \right\| = | k | \left\| \mathbf{u} \right\| $
三角不等式: $\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v}\right\| \le \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\| \mathbf{u} \right\|$

$L ^{2}$のノルムを$\displaystyle \left\| f \right\|_{2} := \left( \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1} \over {2}}$のように定義しよう。

Part 1. 正定値性
$| f | \ge 0$であるから$\left\| f \right\|_{2} \ge 0$であり、ほとんどいたるところで$f = 0$ならば$\left\| f \right\|_{2} = 0$である。逆に$\left\| f \right\|_{2} = 0$ならばほとんどいたるところで$f = 0$でなければならない。
Part 2. 同次性
$$ \left\| c f \right\|_{2} = \left( \int_{E} | c f |^2 dm \right)^{{1}\over {2}} =\left( |c|^2 \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1}\over {2}} = |c| \left( \int_{E} | f |^2 dm \right)^{{1}\over {2}} = |c| \left\| f\right\|_{2} $$
Part 3. 三角不等式
$$ \begin{align*} \left\| f + g \right\|_{2}^{2} =& \int_{E} | f + g |^2 dm \\ =& \int_{E} ( f + g ) \overline{( f + g )} dm \\ =& \int_{E} | f |^2 dm + \int_{E} ( f \overline{g} + \overline{f} g ) dm +\int_{E} | g |^2 dm \end{align*} $$
コーシー・シュワルツ不等式により次を得る。
$$ \begin{align*} \int_{E} ( f \overline{g} + \overline{f} g ) dm \le & 2 \int_{E} | fg | dm \le 2 | f |_{2} | g |_{2} \\ =& | f + g | _{2}^{2} \le | f | _{2} + 2 | f | _{2} | g | _{2} + | g | _{2} \\ =& \left( | f |_{2} + | g |_{2} \right)^{2} \end{align*} $$
整理すると
$$ \left\| f + g \right\|_{2} \le \left\| f \right\|_{2} + | g |_{2} $$

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5.

内積の定義
$H$をベクトル空間とする。$x,y,z \in H$と$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$に対して次の条件を満たす関数
$$ \langle \cdot , \cdot \rangle : H \times H \to \mathbb{C} $$
を内積と定義し、$\left( H, \langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$を内積空間という。
線形性: $\langle \alpha x + \beta y ,z \rangle =\alpha \langle x,z\rangle + \beta \langle y,z\rangle$
共役対称性: $\langle x,y \rangle = \overline{ \langle y,x \rangle}$
正定値性: $\langle x,x \rangle \ge 0 \quad \text{and} \quad \langle x,x \rangle = 0\iff x=0$

$L ^{2}$の内積を$\displaystyle \langle f , g \rangle := \int_{E} f \overline{g} dm$のように定義しよう。

Part 1. 線形性
$$ \langle f + g , h \rangle = \int_{E} ( f + g ) \overline{g} dm = \int_{E} f \overline{g} dm + \int_{E} g \overline{g} dm = \langle f , h \rangle + \langle g , h \rangle $$
そして
$$ \langle c f , g \rangle = \int_{E} c f \overline{g} dm = c \int_{E} f \overline{g} dm = c \langle f , g \rangle $$
Part 2. 共役対称性
$$ \langle f , g \rangle = \int_{E} f \overline{g} dm = \overline{ \int_{E} \overline{f} g dm} = \overline{ \int_{E} g \overline{f} dm} = \overline{ \langle f , g \rangle } $$
Part 3. 正定値性
$$ \langle f, f \rangle = \int_{E} f \overline{f} dm = \int_{E} | f |^2 dm = \sqrt{ | f |_{2} } $$

性質**3.**のPart 1により証明が終わる。

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L2空間

定義 1

性質

説明

証明

3.

5.

関連リンク

定義 ¹