📂抽象代数

二次方程式の解の公式の導出 ステップ バイ ステップ

公式

二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ について(ここで $a\neq 0$): $$x=\dfrac{ -b\pm \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a}$$

説明

二次方程式が与えられた場合、その根は公式を通じて簡単に見つけることができる。

導出

戦略: 公式を導くキーは、完全平方形に変換することだ。数学が苦手な子供たちのために、できるだけ詳しく説明した。質問せずにただ従って、何度も繰り返してみること。

$$\begin{align*} && ax^{2} + bx + c =& 0 \\ \implies && \ ax^{2} + bx =& -c \\ \implies && x^{2} + \dfrac{b}{a}x =& -\dfrac{c}{a} \\ \implies && x^{2} + \dfrac{b}{a}x + \left( \dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} }-\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } \right) =& -\dfrac{c}{a} \text{(완전제곱꼴을 만들기 위한 트릭)} \\ \implies && \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } \right) -\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } =& -\dfrac{c}{a} \\ \implies && \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } \right) =& \dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} }-\dfrac{c}{a} \\ \implies && \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } \right) =& \dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} }-\dfrac{ 4ac }{ 4a^{2} } \\ \implies && \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } \right) =& \dfrac{ b^{2}-4ac }{ 4a^{2} } \\ \implies && \left( x+\dfrac{b}{2a} \right) \left( x+\dfrac{b}{2a} \right) =& \dfrac{ b^{2}-4ac }{ 4a^{2} } \\ \implies && { \left( x+\dfrac{b}{2a} \right) }^{ 2 } =& \dfrac{ b^{2}-4ac }{ 4a^{2} } \\ \implies && \left( x+\dfrac{b}{2a} \right) =& \pm \sqrt { \dfrac{ b^{2}-4ac }{ 4a^{2} } } \text{(양변에 루트를 취함)} \\ \implies && x+\dfrac{b}{2a} =& \pm \sqrt { \dfrac{ b^{2}-4ac }{ 4a^{2} } } \\ \implies && x+\dfrac{b}{2a} =& \pm \dfrac{ \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a} \\ \implies && x =& -\dfrac{b}{2a}\pm \dfrac{ \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a} \\ \implies && x =& \dfrac{ -b\pm \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a} \end{align*}$$

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