📂偏微分方程式

非粘性バーガース方程式の解

定義

以下の準線形偏微分方程式を ブルガース方程式^{burgers’ equation}と呼ぶ。

$$\begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases}$$

ここで、$t$は時間を、$x$は位置を、$u(t,x)$は時間$t$での位置$x$の波形を表す。 $f$は初期条件で、特に$t=0$の時の波形を表す。

説明

ブルガース方程式は、$\displaystyle u_{t} + u u_{x} = \nu u_{xx}$において拡散係数$\nu$が$0$の場合を表す。

もし$f ' (x)>0$ならば、$x$が大きくなるほど速度が速くなるという意味で、特性曲線は上のように希薄波^rarefactionを形成する。$(t,x)$での勾配は波の速度を意味しており、希薄波を形成することは、速度が徐々に増加するか減少するだけであることを意味する。この場合、特性曲線は絶対に交わることはない。

波形を描くと、上のように時間が経過すると速い点がより早く動き、遅い点がより遅く動くため、次第に差が広がる。

一方で、上のように$x$が大きくなるほど速度が低下する場合、特性曲線は交差するようになる。

この場合、図に示すように、後ろにあった点が前にあった点を追い越すことが発生する。この図では$t=1$の時を基点として、$u$が与えられた$x$に対して複数の値を持ち始めている。自然現象の例としては、波ができる状況を想像すると役立つかもしれない。底の方で前進していた水は砂や小石との摩擦で遅くなっているが、上部では力を受けて進行し、結局は倒れる。これを破裂^blow-upと言い、数学的には関数が存在しなくなり、物理的には同時に複数の状態が重なることを意味する。

特性曲線が希薄波を形成する場合は解析が簡単すぎるため、主な関心事はこの場合だけではない。解を見つけること自体は難しくないが、それを明示関数の形にきれいに変換することが難しく、不可能な場合も多い。ブルガース方程式の解法には、破裂時間^{blow-up time}および破裂位置^{blow-up location}を求めることも重要な問題である。粘性係数のないブルガース方程式の解が存在する場合、解法は次の通りである。

解法

• ステップ1. $\xi = x - tu$と置く。

• ステップ2. $u = f(x - tu)$と置く。

  すると$\xi = x - t f( x - tu) = x - t f (\xi )$なので、特性直線は$x = f(\xi) t + \xi$となる。全ての$x \in \mathbb{R}$に対して$f ' (x) > 0$であれば、特性直線は希薄波を形成し、会うことはない。$f ' (x) < 0$となる$x$が存在するなら、特性直線はある点で会い、その点で破裂する。

• ステップ3. 初期条件を$f(x-tu) = f(\xi)$の形に変換する。

  もし$u = f(\xi) = f(x - tu)$を明示関数の形に変換できるならば、変換する。

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無粘性ブルガース方程式の解が有限時間内に破裂する場合、その時間および位置は次の通りである。

• ステップ1. $u$を明示関数の形で求めたならば、$u$が発散する$t = t_{\ast}$を見つける。

  その$t_{\ast}$が破裂時間になる。

• ステップ2. 明示関数の形を求められなかった場合、$f ' (x)$を求める。

  $$t_{\ast} : = \inf \left\{ \left. - {{1} \over {f ' (x) }} \ \right| \ f '(x) < 0 \right\}$$

  それが破裂時間である。

• ステップ3. 特性直線$x = f(\xi) t + \xi$と$x$軸が会う点$x_{0}$を探す。

  $x = f(\xi) t + \xi$に$\xi=x_{0}$と$t = t_{\ast}$を代入して得られる$x_{*} = x_{0} + f(x_{0}) t_{\ast}$が破裂位置である。

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例題

1

• $\displaystyle \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = \alpha (x - tu) + \beta & , t=0 \end{cases}$の破裂時間を求めよ。

これは$u$が明示関数の形できれいに表されるタイプである。

$u = \alpha ( x - tu ) + \beta$を$u$について整理すると$\displaystyle u(t,x) = {{\alpha x + \beta} \over {1 + \alpha t}}$であり、破裂時間は$\displaystyle t_{\ast} = - {{1} \over {\alpha}}$である。

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2

• $\displaystyle \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = {{1} \over {2}} \pi - \tan^{-1} x & , t=0 \end{cases}$の破裂時間を求めよ。

$u$を明示関数の形で表すのが煩わしいタイプである。

$$f ' (x) = \left( {{1} \over {2}} \pi - \tan^{-1} x \right) = - {{1} \over {1 + x^2}}$$

であり、$x \in \mathbb{R}$に対して$f ' (x) < 0$が成り立つ。したがって、

$$t_{\ast} = \inf \left\{ \left. - {{1} \over {f ' (x) }} \ \right| \ f '(x) < 0 \right\} = \inf \left\{ \left. (1+ x^2) \ \right| \ f '(x) < 0 \right\} = 1$$

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