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ルジャンドルの倍数公式の導出 📂関数

ルジャンドルの倍数公式の導出

公式

Γ(2r)=22r−1πΓ(r)Γ(12+r) \Gamma (2r) = {{2^{ 2r - 1} } \over { \sqrt{ \pi } } } \Gamma \left( r \right) \Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right)

説明

割れる形はそんなに綺麗じゃないけど、因数を小さく割れることは確かに便利な事実だ。導出自体はベータ関数から派生した補助定理を使えばそんなに難しくない。

導出

B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)=∫01tp−1(1−t)q−1dt B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} = \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt について r:=p=qr:= p=q とすると Γ(r)Γ(r)Γ(2r)=∫01tr−1(1−t)r−1dt {{\Gamma (r) \Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} = \int_{0}^{1} t^{r-1} (1-t)^{r-1} dt t=1+s2\displaystyle t = {{1+s} \over {2}} を λ(s):=(1−s2)r−1\lambda (s) := \left( 1 - s^2 \right)^{r-1} に置換すると λ(s):=(1−s2)r−1\lambda (s) := \left( 1 - s^2 \right)^{r-1} が偶関数なので Γ(r)Γ(r)Γ(2r)=12∫−11(1+s2)r−1(1−s2)r−1ds=121+2(r−1)∫−11(1−s2)r−1ds=21−2r⋅2∫01(1−s2)r−1ds \begin{align*} {{\Gamma (r) \Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} =& {{1} \over {2}} \int_{-1}^{1} \left( {{1+s} \over {2}} \right)^{r-1} \left( {{1-s} \over {2}} \right)^{r-1} ds \\ =& {{1} \over {2^{1 + 2(r-1)} }} \int_{-1}^{1} \left( 1 - s^2 \right)^{r-1} ds \\ =& 2^{1 - 2r} \cdot 2 \int_{0}^{1} \left( 1 - s^2 \right)^{r-1} ds \end{align*}

ベータ関数の三角関数表示の帰結: B(x,y)=2∫01t2x−1(1−t2)y−1dt B(x,y) = 2 \int_{0}^{1} t^{2x-1} \left( 1 - t^2 \right)^{y-1} dt

上の公式に x=12\displaystyle x = {{1} \over {2}} と y=ry = r を代入すると B(12,r)=2∫01(1−t2)r−1dt B \left( {{1} \over {2}} , r \right) = 2 \int_{0}^{1} \left( 1 - t^2 \right)^{r-1} dt したがって Γ(r)Γ(r)Γ(2r)=21−2rB(12,r)=21−2rΓ(12)Γ(r)Γ(12+r) {{\Gamma (r) \Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} = 2^{1 - 2r} B \left( {{1} \over {2}} , r \right) = 2^{1 - 2r} {{\Gamma \left( {{1} \over {2}} \right) \Gamma (r)} \over {\Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right) }} を得る。反射公式から Γ(12)=π\displaystyle \Gamma \left( {1 \over 2} \right) = \sqrt{\pi} なので Γ(r)Γ(2r)=21−2rπΓ(12+r) {{\Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} = 2^{1 - 2r} {{\sqrt{\pi} } \over {\Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right) }} Γ(2r)\Gamma (2r) について整理すると Γ(2r)=22r−1πΓ(r)Γ(12+r) \Gamma (2r) = {{2^{2r-1} } \over { \sqrt{ \pi } } } \Gamma \left( r \right) \Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right)

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