連結成分と完全非連結空間
定義
位相空間 $X$ の連結部分空間の中で、自分自身以外に連結な上位集合supersetを持たない連結集合を、$X$ の連結成分connected Componentという。特に、$x \in X$ を含む連結成分を$C_{x}$ と記す。$X$ のすべての連結成分が単元素集合である場合、$X$ を全く分離空間totally Disconnected spaceという。
説明
連結成分
定義を見ると、言葉が回りくどいように見えるが、実は非常にシンプルな概念だ。
全ての連結空間を「成分」と呼ぶには多すぎるので、自分自身より大きな集合の中に連結集合があれば、それを除外する。このように最大の「塊」として考えることができるものを一つの単位として捉えればいい。
簡単な例として、休という漢字を考えてみれば、左の**亻（人）と木（木）**が休の連結成分になる。連結成分について話すとき、全ての連結成分を知る必要も言及する必要もない。陸路の有無を連結と考えれば、我が国は本土と済州島、鬱陵島、独島などが連結成分として十分である。
以下は連結成分に関するいくつかの性質である。ほとんどは容易に証明できるが、証明に焦点を当てるより、これらを事実として慣れることが重要だろう。
連結成分の性質
- [1]: $x \in X$ は$C_{x}$ にのみ属する。
- [2]: $a,b \in X$ について、$C_{a} = C_{b}$ か $C_{a} \cap C_{b} = \emptyset$ のどちらかである。
- [4]: $X$ のすべての連結成分は、$X$ で閉じた集合である。
- [5]: $X$ が連結空間であることと、$X$ がただ一つの連結成分を持つことは、相互に同値である。
全く分離空間
一方で、全く分離空間は、連結空間の正反対の概念と考えることができるが、ここでの「反対」とは否定を意味するわけではない。既に知られているように、連結空間の否定は単に非連結空間であり、全く分離空間は、その「全て」の部分集合において連結性が欠如している状態である。簡単な例としては、離散空間がある。