チャップマン-コルモゴロフ方程式の導出
📂確率論チャップマン-コルモゴロフ方程式の導出
要点
確率過程の遷移確率 pij(n), pij(t)と遷移確率行列 P(n), P(t)について、以下の方程式が成り立つ。
離散確率過程
pij(n+m)=P(n+m)=k∑pik(n)pkj(m)P(n)P(m)
連続確率過程
pij(t+s)=P(t+s)=k∑pik(t)pkj(s)P(t)P(s)
説明
ステート i から j まで行くのに n+m のステップが n と m に分けられるってことだ。証明しなくても直感的に考えてみれば、i から k まで n ステップで行って、k から j まで m ステップで行く確率は、i から k を経由して j まで行く確率になるし、すべての状態 k に対してこの確率を合計すると、途中が何であれ結局は i から j へ行く確率になるはずだ。
導出
戦略:離散確率過程についてのみ証明する。初めに X0 を i として仮定し、その後「i から始まる」について言及する必要がないようにする。シグマの内側での式は、条件付き確率 P(A∣B)=P(AB)/P(B) の両辺に P(B) を掛けると P(AB)=P(A∣B)P(B) のように表せることに移行する。
X0=i と仮定すると
pij(n+m)====P(Xn+m=j)k∑P(Xm=j,Xn=k)k∑P(Xm=j∣Xn=k)P(Xn=k)k∑pik(n)pkj(m)
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