logo

チャップマン-コルモゴロフ方程式の導出 📂確率論

チャップマン-コルモゴロフ方程式の導出

要点

確率過程遷移確率 pij(n)p_{ij}^{(n)}, pij(t)p_{ij}(t)遷移確率行列 P(n)P^{(n)}, P(t)P(t)について、以下の方程式が成り立つ。

離散確率過程

pij(n+m)=kpik(n)pkj(m)P(n+m)=P(n)P(m) \begin{align*} p_{ ij }^{ (n+m) } =& \sum _{ k } p_{ ik }^{ (n) } p _{ kj }^{ (m) } \\ P^{(n+m)} =& P^{(n)} P^{(m)} \end{align*}

連続確率過程

pij(t+s)=kpik(t)pkj(s)P(t+s)=P(t)P(s) \begin{align*} p_{ij} (t + s) =& \sum _{ k } p_{ ik } \left( t \right) p _{ kj } \left( s \right) \\ P(t+s) =& P(t) P(s) \end{align*}

説明

ステート ii から jj まで行くのに n+mn+m のステップが nnmm に分けられるってことだ。証明しなくても直感的に考えてみれば、ii から kk まで nn ステップで行って、kk から jj まで mm ステップで行く確率は、ii から kk を経由して jj まで行く確率になるし、すべての状態 kk に対してこの確率を合計すると、途中が何であれ結局は ii から jj へ行く確率になるはずだ。

導出

戦略:離散確率過程についてのみ証明する。初めに X0X_0ii として仮定し、その後「ii から始まる」について言及する必要がないようにする。シグマの内側での式は、条件付き確率 P(AB)=P(AB)/P(B)P(A|B)=P(AB)/P(B) の両辺に P(B)P(B) を掛けると P(AB)=P(AB)P(B)P(AB)=P(A|B)P(B) のように表せることに移行する。


X0=i { X }_{ 0 }=i と仮定すると pij(n+m)=P(Xn+m=j)=kP(Xm=j,Xn=k)=kP(Xm=jXn=k)P(Xn=k)=kpik(n)pkj(m) \begin{align*} { p } _{ ij }^{ (n+m) } =& P({ X }_{ n+m }=j ) \\ =& \sum _{ k }^{ }{ P({ X }_{ m }=j , { X }_{ n }=k) } \\ =& \sum _{ k }^{ }{ P({ X }_{ m }=j | { X }_{ n }=k)P({ X }_{ n }=k) } \\ =& \sum _{ k }^{ }{ { p }_{ ik }^{ (n) } { p }_{ kj }^{ (m) } } \end{align*}